Będę wdzięczny, z góry dzięki!
Całka potrójna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Całka potrójna
Granice calkowania:
\(-3 \le x \le 3\\
- \sqrt{9-x^2} \le y \le \sqrt{9-x^2} \\
- \sqrt{9-x^2-y^2} \le z \le \sqrt{9-x^2-y^2} \)
choć przejście na współrzędne sferyczne znacznie uprości obliczenia, a całka będzie wyglądała tak:
\(\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi} (\int_0^3 \sqrt{r^2}r^2\sin \beta dr) d \beta ) d \alpha \)
\(-3 \le x \le 3\\
- \sqrt{9-x^2} \le y \le \sqrt{9-x^2} \\
- \sqrt{9-x^2-y^2} \le z \le \sqrt{9-x^2-y^2} \)
choć przejście na współrzędne sferyczne znacznie uprości obliczenia, a całka będzie wyglądała tak:
\(\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi} (\int_0^3 \sqrt{r^2}r^2\sin \beta dr) d \beta ) d \alpha \)
Re: Całka potrójna
Mógłbym prosić o rozwiązanie? Wciąż nie mogę się uporać z tym zadaniem, wiem że wynik ma wynosić 81π
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Całka potrójna
\(\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi} (\int_0^3 \sqrt{r^2}r^2\sin \beta dr) d \beta ) d \alpha =
\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi}\sin \beta (\int_0^3 r^3 dr) d \beta ) d \alpha =
\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi}\sin \beta ( \frac{1}{4}r^4\bigg|_0^3 ) d \beta ) d \alpha =\\
= \frac{81}{4}\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi}\sin \beta d \beta ) d \alpha = \frac{81}{4}\int_0^{2\pi}( - \cos \beta \bigg|_0^{\pi} ) d \alpha = \frac{81}{4}\int_0^{2\pi}2 d \alpha = \frac{81}{2} \alpha \bigg|_0^{2\pi} =81 \pi \)
\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi}\sin \beta (\int_0^3 r^3 dr) d \beta ) d \alpha =
\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi}\sin \beta ( \frac{1}{4}r^4\bigg|_0^3 ) d \beta ) d \alpha =\\
= \frac{81}{4}\int_0^{2\pi}( \int_0^{\pi}\sin \beta d \beta ) d \alpha = \frac{81}{4}\int_0^{2\pi}( - \cos \beta \bigg|_0^{\pi} ) d \alpha = \frac{81}{4}\int_0^{2\pi}2 d \alpha = \frac{81}{2} \alpha \bigg|_0^{2\pi} =81 \pi \)