Równania stycznej

[Amtematiksonn]

Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x) = \frac{x^3 +4}{x}\) przechodzącej przez punkt \(P=(0,0)\). Rozważ wszystkie przypadki.
Normalnie takie zadania robiłem poprzez liczenie delty ale tutaj tak mi coś nie wychodzi, więc jak się za to zabrać?

[Jerry]

Fakt:
Do krzywej różniczkowalnej \(y=f(x)\wedge x\in D_f\) istnieje rodzina stycznych:
$$y=f'(m)(x-m)+f(m)\wedge m\in D'_f$$
W Twoim zadaniu przyjmie postać:
\(y=\left(2m-\frac{4}{m^2}\right)(x-m)+m^2+\frac{4}{m}\wedge m\ne 0\)
i wystarczy wstawić \((0,0)\), wyznaczyć \(m\) i napisać odpowiedź

Pozdrawiam

[Amtematiksonn]

o kurde faktycznie mi wyszło dziękuję bardzo za pomoc jeszcze jedno pytanie: Można to zadanie zrobić nie wykorzystując tego wzoru?

[radagast]

Metodami szkolnymi:
\(f'(x)= \frac{2x^3-4}{x^2} \)
oznaczmy \((x_0,y_0)\) punkt styczności.
\(y=ax+b\) -szukana styczna
\(b=0\), bo przechodzi przez \((0,0)\)
czyli \(y=ax\) -szukana styczna

\(a= f'(x_0)=\frac{2x_0^3-4}{x_0^2}\)

czyli \(y=\frac{2x_0^3-4}{x_0^2}x\) -szukana styczna
Styczna przechodzi przez punkt styczności i punkt styczności należy do wykresu. Zatem

\( \frac{x_0^3+4}{x_0} =\frac{2x_0^3-4}{x_0^2}x_0\)
stąd \(x_0=2\)
wtedy \(y_0=6\)
czyli szukana styczna to prosta \(y=3x\)

[Amtematiksonn]

Dzięki za pomoc

[radagast]

Zastanawiam się tylko co miał na myśli autor zadania pisząc "rozważ wszystkie przypadki"

[Jerry]

... Można to zadanie zrobić nie wykorzystując tego wzoru?

Wzór ten znajdziesz w ściągawce maturalnej, str. 19, w wersji \(m=x_0\). To po co szukać innych ścieżek dostępu

Zastanawiam się tylko co miał na myśli autor zadania pisząc "rozważ wszystkie przypadki"

"ctrl_c / ctrl_v" ?

Pozdrawiam