Punkty styczności wykresu funkcji i prostej

[Amtematiksonn]

Styczna do wykresu funkcji \(f\) jest prostopadła do prostej \(m\). Wyznacz współrzędne punktu (punktów) styczności \(P\).
\(f(x) = x^4 -2x^2\)
\( m: 2x+48y-3=0\)

[Galen]

\(f(x)=x^4-2x^2\\m:y=-\frac{1}{24}x+\frac{1}{16}\\prostopadła \;do\;m\;;y=24x+b\\f'(x)=24\;\;\;czyli\;\;\;4x^3-4x=24\\x^3-x-6=0\\x=2\\f(2)=2^4-2\cdot 2^2=8\\P=(2;8)\\styczna\\y=24x+b\\8=24\cdot 2+b\;\;\;\;\;to\;\;\;\;b=-40\\y=24x-40\)

[Jerry]

\(y=f(x) = x^4 -2x^2\wedge D=\rr\)
\(y'=f'(x)=4x^3-4x\wedge D'=D\)

\( m: y=-\frac{1}{24}x+\frac{1}{16}\) będzie prostopadła do stycznej, o ile

\((4x^3-4x)\cdot\left(-\frac{1}{24}\right)=-1\)
\(x^3-x-6=0\)
jedynym rzeczywistym pierwiastkiem jest \(x=2\), zatem \(P(2,\ 8 )\)

Pozdrawiam

[Amtematiksonn]

Dzikuję