Wykazać ,że równość

[Amtaz]

Wykazać ,że równość
\(x^{2}-cosx=0\)
ma dokładnie dwa rozwiązania

[Jerry]

Ponieważ funkcja
\(y=f(x)=x^{2}-\cos x\)
jest parzysta, to można zauważyć, że
-) jest ciągła w \([0;\ +\infty)\)
-) jest rosnąca w \([0;\ +\infty)\), czyli tam różnowartościowa
-) \(f(0)=-1<0, \ f(1)\approx 1^2-\cos\frac{\pi}{3}=0,5>0\), czyli na mocy własności Darbouix ma pierwiastek w \((0;\ 1)\)

Podsumowując - teza prawdziwa

Pozdrawiam

[Sciurius]

\(f(x) = x^2 - cos x\)
\(f'(x) = 2x+sin x\)

1. \(f'(x)<0 \leftrightarrow x<0 \in f(x) maleje \)

• \(f'(x)=0 \leftrightarrow x=0 \)

• \(f'(x)>0 \leftrightarrow x>0 \in f(x) rośnie\)

oczywiście \(lim_{x→±\infty}f(x)=+\infty\)
oraz \(f(0)=-1\)

Jest takie twierdzenie nie pamiętam dokładnie nazwy ale w skrócie mówi ono że:
\(a<b\)
jeżeli \(f(a)*f(b)<0\) oraz \(f(x) \) jest ciągła w przedziale \( (a,b)\) to w przedziale \((a,b)\) funkcja \(f(x)\) ma przynajmniej jedno miejsce zerowe
ponieważ nasza funkcja oprócz tego że jest ciągła jest także odpowiednio malejąco lub rosnąca w przedziałach \((-\infty ;0)\);\((0;\infty)\) to w powyższych przedziałach nie może mieć więcej niż jednego miejsca zerowego a zatem ma dokładnie jedno miejsce zerowe w każdym z przedziałów \((-\infty ;0)\);\((0;\infty)\) czyli razem dokładnie dwa miejsca zerowe

q.e.d.