Całka krzywoliniowa zorientowana.

[Jvlkv_Kw]

Witam, mam do zrobienia kilka przykładów i bardzo proszę o rozwiązanie jednego z nich ponieważ chciałabym następne rozwiązać sama. Z góry serdecznie dziękuję za pomoc, a treść brzmi:

Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych łukach
(zorientowanych zgodnie z parametryzacją):
a) \(F(x,y,z)=(y,z,x)\); Łuk to odcinek AB gdzie \(A=(1,-1,2)\) oraz \(B=(0,2,3)\)

[panb]

Witam, mam do zrobienia kilka przykładów i bardzo proszę o rozwiązanie jednego z nich ponieważ chciałabym następne rozwiązać sama. Z góry serdecznie dziękuję za pomoc, a treść brzmi:

Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych łukach
(zorientowanych zgodnie z parametryzacją):
a) \(F(x,y,z)=(y,z,x)\); Łuk to odcinek AB gdzie \(A=(1,-1,2)\) oraz \(B=(0,2,3)\)

Najpierw parametryzujemy łuk (tu: odcinek):
\[\displaystyle \vec{AB}=[0-1,2-(-1),3-2]=[-1,3,1] \So \breve{AB}: \begin{cases} x(t)=1-t\\y(t)=-1+3t\\z(t)=2+t\end{cases}\,\,\, 0\le t \le 1 \So \begin{cases}x'(t)=-1\\y'(t)=3\\z'(t)=1 \end{cases} \]
Teraz zajmijmy się siłą: \(\vec{F}=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,x)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}\). Tutaj \(P(x,y,z)=y,\,\, Q(x,y,z)=z,\,\, R(x,y,z)=x\)
Mamy policzyć całkę \(\displaystyle \int_{\breve{AB}}Pdx+Qdy+Rdz\)
\[\displaystyle \int_{\breve{AB}}ydx+zdy+xdz= \int_{0}^{1} \left[(-1+3t) \cdot (-1)+(2+t) \cdot 3+(1-t) \cdot 1 \right] {dt} = \int_{0}^{1}(8-t){dt}= \frac{15}{2} \]

[Jvlkv_Kw]

Dziękuję ślicznie!