Punkty A i B należą do paraboli o równaniu

[MartaaKo]

Punkty \(A i B\) należą do paraboli o równaniu \(y^2=x\). Prosta \(AB\) jest prostopadła do osi \(OX\) i przecina odcinek \(PC\), gdzie\( P (0,0), C(9,0)\), przy czym punkt przecięcia leży pomiędzy \(P i C\). Który spośród trójkątów \(ABC\) ma największe pole?

[eresh]

\(A(a,\sqrt{a})\\
B(a,-\sqrt{a})\\
a\in (0,9)\\
|AB|=\sqrt{2a}\\\)
O - środek odcinka AB
\(O(a,0)\\
h=|OC|=(9-a)\\
P(a)=\frac{1}{2}\sqrt{2a}(9-a)\\
P(a)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a}(9-a)\\
P'(a)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{9-a}{2\sqrt{a}}-\sqrt{a})\\
P'(a)=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{9-3a}{\sqrt{a}}\\
P'(a)>0\iff a\in (0,3)\\
P'(a)<0\iff a\in (3,9)\\
P_{max}=P(3)\\
A(3,\sqrt{3})\\
B(3,-\sqrt{3})\)

[kerajs]

\(A(a,\sqrt{a})\\
B(a,-\sqrt{a})\\
a\in (0,9)\\
|AB|=\sqrt{2a}\\\)

Raczej:
\(|AB|=2\sqrt{a}\)
Choć ten błąd pojewia się także dalej, to przypadkowo nie wpływa on na wynik.

[eresh]

zgadza się, powinno być tak:
\(A(a,\sqrt{a})\\
B(a,-\sqrt{a})\\
a\in (0,9)\\
|AB|=2\sqrt{a}\\\)
O - środek odcinka AB
\(O(a,0)\\
h=|OC|=(9-a)\\
P(a)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{a}(9-a)\\
P(a)=\sqrt{a}(9-a)\\
P'(a)=(\frac{9-a}{2\sqrt{a}}-\sqrt{a})\\
P'(a)=\frac{9-3a}{2\sqrt{a}}\\
P'(a)>0\iff a\in (0,3)\\
P'(a)<0\iff a\in (3,9)\\
P_{max}=P(3)\\
A(3,\sqrt{3})\\
B(3,-\sqrt{3})\)