Suma szeregu potęgowego.

[Bilstik]

Witam, mam za zadanie określić przedział zbieżności szeregu oraz znaleźć sumę tego szeregu wewnątrz przedziału jego zbieżności i czy ktoś mógłby wytłumaczyć w jaki sposób dojść do postaci całki zaznaczonej na rysunku w załączniku ? Przedziały zbieżności potrafię policzyć x(-1,1), ale jak dalej ? Bym był bardzo wdzięczny tylko o ten etap . Pozdrawiam

[panb]

To trzeba zacząć od drugiego końca.
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n(n-1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)n}\)
Zwróć uwagę, że \(\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} = \int_{0}^{x} t^n dt \), wobec tego
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{x}t^n dt=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x} \frac{t^n}{n} dt=\int_{0}^{x} \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} \right)dt \) - taka zamiana jest możliwa bo szereg jest zbieżny

Dalej to już tak jak na fotce: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}=\ln \frac{1}{1-t} \) itd.

Czy o takie wyjaśnienie ci chodziło?

[Bilstik]

Rozumiem, że jeśli rozpoczynamy, np. od n=2 to przekształcamy najpierw na sumę rozpoczynającą się od n=1 (pierwszy wiersz) ?, a druga sprawa w wierszu "zwróć uwagę ...." napisał Pan równa się całce t^n ,dlaczego tak ? to jest jakichś ogólny schemat, że przyjmuje się zmienną t^n zamiast x^n ?

[panb]

Tak na prawdę, to \(\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}=\int x^ndx \). Ja zawsze używałem całki nieoznaczonej z iksem, ale może rzeczywiście tak jest ściśle, bo co ze stałą C, która występuje przy całce nieoznaczonej.

[panb]

Gdybyś, w całym rozwiązaniu, stosował całkę nieoznaczoną z iksem pod całką, wynik byłby taki sam (z dokładnością do stałej).

[Bilstik]

W sumie ostatnia myśl mnie naszła, że jeśli miałbym w zadaniu nie x^n ,lecz np x^2n lub x^n+1 to wówczas to po lewej stronie równałoby się całce z wybranymi iksami co napisałem ? I to by było na tyle, naprawdę Pan mi pomógł bo przez zdalne nauczanie ciężko zrozumieć te zagadnienie.

[panb]

To wcale nie jest takie proste, nie ma co sobie robić wyrzutów. Ten portal jest po to, że by pomóc i wyjaśnić - niestety czasem ludzie chcą TYLKO rozwiązania.

[Bilstik]

Domyślam się, jednakże dla mnie samo rozwiązanie nie ratuje bo co mi z niego jak innego przypadku już nie rozwiąże. Co do trudności to właśnie ten dział z całego nauczania najwięcej problemów przysparza... Ale dzięki Panu jakaś iskierka nadziei, że to zrozumiem bo ogólnie na internecie dość chaotycznie jak dla mnie te zagadnienie jest omawiane

[Bilstik]

Kurczę zacząłem robić inne zadanie i zacząłem się zastanawiać na jakiej zasadzie powstaje suma dla n=1 po prawej stronie tak jak na zdjęciu w załączniku ? Całkujemy lewą stronę czy jak ?

[panb]

Nie, to nic takiego. Po prostu zmiana numeracji.
Po lewej stronie mamy: \(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n(n-1)} = \frac{x^2}{2 \cdot 1} + \frac{x^3}{3 \cdot 2} + \frac{x^4}{4 \cdot 3} + \ldots\)
Po prawej stronie mamy: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)n} = \frac{x^2}{2 \cdot 1} + \frac{x^3}{3 \cdot 2} + \frac{x^4}{4 \cdot 3} + \ldots\)

Gdyby użyć innej zmiennej do numerowania, powiedzmy \(k=n-1\), to jeśli \(n\) zmienia się od \(2 \) do nieskończoności, to \(k\) by się zmieniało od \(2-1=1\) do nieskończoności. Ale wtedy \(n=k+1\) i wszędzie za \(n\) trzeba by wstawić \((k+1)\). Byłoby \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1-1)} =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{(k+1)k}\) i mielibyśmy to samo tylko z literą \(k\).
Zazwyczaj pozostawia się literę \(n\) i to może być mylące. Pewnie stąd ta rozterka.

Ćwiczenie:
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+2}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{...}{...} \) - do uzupełnienia, żeby już nie było z tym problemów.

[Bilstik]

Dzień dobry, czy mógłby Pan lub ktokolwiek inny z tego forum sprawdzić czy wykonałem pewien przykład poprawnie (także pod względem zapisu) ? Czy jeśli mam wyznaczyć przedział zbieżności to muszę sprawdzać na krańcach przedziału ? Treść zadania jak i rozwiązanie w załączniku, z góry bardzo dziękuję. P.S Mam nadzieję, że da się rozczytać moje pismo w takiej rozdzielczości.

[panb]

Promień zbieżności OK (końce trzeba sprawdzić).
Źle policzona całka \(\int \frac{dx}{1-3x}=- \frac{1}{3}\ln(1-3x) +C \)
Wtedy końcowy wynik będzie OK

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1}x^n=- \frac{\ln(1-3x)}{3x} \) dla \(x\in ...\)

[Bilstik]

O kurczę, ale "babola" strzeliłem z tą całką. Dziękuję bardzo za podpowiedź bo na zajęciach prowadzący nie wspominał o sprawdzaniu krańców, a w internecie było to sprawdzane dlatego się dziwiłem Dziękuję bardzo za pomoc raz jeszcze