Wyznaczyć ekstrema warunkowe

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Wyznaczyć ekstrema warunkowe

Post autor: peresbmw »

Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji \(f(x,y)=-lnx+y^2\) przy warunku pobocznym \(x^2+y^2=1\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Wyznaczyć ekstrema warunkowe

Post autor: panb »

peresbmw pisze: 28 kwie 2020, 17:13 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji \(f(x,y)=-lnx+y^2\) przy warunku pobocznym \(x^2+y^2=1\)
\(D_f=\{(x,y): x>0,\,\,\, y\in \rr \} \wedge x^2=1-y^2 \So 0<x\le 1\\
x^2+y^2=1 \So y^2=1-x^2 \)
,
Wtedy \(f(x,y)=1-x^2-\ln x=g(x),\,\, x\in (0,1]\\
g'(x)=-2x- \frac{1}{x} <0\)

funkcja g nie posiada ekstremów i jest malejąca zatem przyjmuje wartość najmniejszą dla x=1 (y=0)

Odpowiedź: Funkcja \(f(x,y)=-lnx+y^2\) przy warunku pobocznym \(x^2+y^2=1\) ma minimum
w punkcie \((1,0)\): \(f_{min}=f(1,0)=0\)

ODPOWIEDZ