wyznacz ekstrema lokalne

[Aguś56]

wyznacz ekstrema lokalne \(z=1- \sqrt{x^2+y^2} \) policzyłam pochodne po x i po y ale nie umiem sobie poradzić z wyliczeniem tego punktu jak przyrównuje pochodne do zera
proszę o pomoc.

[panb]

Bo tu nie ma co liczyć.
\( z\le 1\) więc funkcja ma maksimum dla x=0 i y=0 i to wszystko.

[Aguś56]

a skąd wiemy, że jest mniejsze od 1? możesz mi to bardziej rozpisać skąd to wynika i skąd bierzemy punkt (0,0)?

[Aguś56]

nie muszę tutaj liczyć pochodnych?

[kerajs]

Nie, nie musisz. Należy jednak uzasadnić dlaczego akurat tam jest maksimum.


Ps
Nie rozumiem jak z warunku koniecznego:
\( \begin{cases} \frac{-1}{2 \sqrt{x^2+y^2} } \cdot 2x=0 \\ \frac{-1}{2 \sqrt{x^2+y^2} } \cdot 2y=0 \end{cases} \)
nie umiesz wyliczyć jedynego możliwego punktu:
\( \begin{cases} x=0 \\y=0 \end{cases} \)

[Aguś56]

a jak to uzasadnić?

[kerajs]

Skoro dla punktu (0,0) zachodzi \(z(0,0)=1\), a w dowolnym otoczeniu tego punktu \(z<1\), to w (0,0) jest maksimum funkcji z.

Pewnie można to ładnie ozdobić kwantyfikatorami, lecz sens będzie taki sam.

[panb]

A bez kwantyfikatorów można tak:
jak odejmujesz od jedynki coś dodatniego, to zawsze otrzymasz mniej niż 1.
Jedynkę otrzymasz tylko wtedy gdy odejmiesz zero, a \(\sqrt{...}=0 \) wtedy, gdy jest to pierwiastek z zera .
Pisać dalej, czy wystarczy?