Rząd funkcji interpolującej

[studentAir]

Co to znaczy rząd funkcji interpolującej?
Z góry dziękuje za jakąkolwiek podpowiedz

[grdv10]

Interpolować można funkcjami z wielu klas. Najpopularniejsze są wielomiany i funkcje sklejane. Są też tzw. wielomiany trygonometryczne czy ogólnie tzw. przestrzenie Haara generowane przez układy Czebyszewa. Ale studentom w zasadzie przedstawia się interpolację wielomianową. Rząd wielomianu to jego maksymalny stopień. Tak więc wielomian rzędu \(3\) ma postać \(w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Chodzi o to, że np. współczynnik \(a\) może się zerować. Dlatego w szczególności każdy trójmian kwadratowy jest wielomianem rzędu \(3,4,5,\dots\). Natomiast jeśli (w moim przykładzie) mamy \(a\ne 0\), to wielomian \(w(x)\) jest stopnia \(3\).

No i teraz zainterpolujmy punkty \((1,1),\ (2,2),\ (3,3)\) wielomianem rzędu \(2\). Jest nim \(w(x)=x\), czyli wielomian stopnia \(1\). Zainterpolujmy teraz punkty \((1,1),\ (2,4),\ (3,9)\) wielomianem rzędu \(2\). Jest nim \(w(x)=x^2\).

Tak więc wielomian rzędu \(n\) to wielomian stopnia co najwyżej \(n\).

Podobnie rozumie się rząd funkcji sklejanej (splina). Funkcje sklejane są złożone z kawałków wielomianów. Najpopularniejsze są splinu kubiczne, czyli złożone z kawałków wielomianów rzędu \(3\). Spliny kubiczbe to spliny rzędu \(3\).

Ogólnie skończenie wymiarową przestrzeń funkcji interpolujących nazywamy przestrzenią Haara, a jej bazę układem Czebyszewa. Rząd funkcji interpolującej jest wtedy związany z wymiarem tej przestrzeni. Żeby być zgodnym z wielomianami, trzeba by wziąć rząd funkcji interpolującej jako wymiar przestrzeni Haara pomniejszony o jeden (wielomiany rzędu 3 stanowią przestrzeń 4-wymiarową). Tu kwestię czy rzędem nazwiemy wymiar czy wymiar pomniejszony o jeden, należy skonsultować z podręcznikami analizy numerycznej, np. Ralstona czy Kincaida albo Gautschiego...

Rzędem funkcji interpolującej można też nazwać liczbę punktów, które interpolujemy, pomniejszoną o jeden. Np. dla dwóch róznych punktów istnieje prosta przez nie przechodząca. Prosta to wykres funkcji liniowej, więc wielomianu stopnia 1. To się zgadza z wielomianami.

[studentAir]

Wow, Dziękuje bardzo

[panb]

Tu jest taki przycisk dziękujący - kciuk w górę, przy poście, za który chce się podziękować.