Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[lolipop692]

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

a) \(x+y=3\) , \(z=4x^2+2y^2+1\), dla \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), \( z \ge 0\),
b)\( x^2+y^2+z^2=4\), \(z=1\) dla \(z \ge 1\)

Czy mógłby mi ktoś pomóc to rozwiązać, z góry dziękuje

[kerajs]

Obszary całkowania:
a)
\(0 \le x \le 3 \\
0 \le y \le -x+3\\
0 \le z \le 4x^2+2y^2+1\)
b)
\(- \sqrt{3} \le x \le \sqrt{3} \\
- \sqrt{3-x^2} \le y \le \sqrt{3-x^2} \\
1 \le z \le \sqrt{4-x^2-y^2} \)
tu przejście na współrzędne cylindryczne uprości opis obszaru i całkowanie:
\(0 \le \alpha \le 2 \pi \\
0 \le r \le \sqrt{3} \\
1 \le z \le \sqrt{4-r^2} \)
NIe zapominij o jakobianie!

[lolipop692]

ok dzięki policzyłam pomożesz mi jeszcze z tym przykładem ?

\(z=-x^2-y^2+6\), \(z^2=x^2+y^2\) dla \( x \ge 0\)

[kerajs]

\(z^2=-z+6 \So z=2 \vee z=-3\)

Zadanie nie jest jednoznaczne gdyż są dwie możliwe objętości między paraboloidą
a stożkiem dwupowłokowym.
Policz łatwiejszą (czyli taki rożek z gałką lodów przecięty wzdłuż na połowę):
\(0 \le x \le 2\\
- \sqrt{4-x^2} \le y \le \sqrt{4-x^2}\\
\sqrt{x^2+y^2} \le z \le 6-x^2-y^2\)
Przejście na cylindryczne da łatwiejsze całkowanie w granicach
\( \frac{- \pi }{2} \le \alpha \le \frac{ \pi }{2} \\
0\le r \le 2\\
\sqrt{r^2} \le z \le 6-r^2\)

[lolipop692]

Super,bardzo ci dziekuje
naprowadź mnie jeszcze z tym przykładem i masz u mnie piwo i już nie męczę
\(z=0\) ,\( y=0\) , \(x+y=3 \), \(z=9-x^2\) , \(y=2x\)

[kerajs]

O, widzę że nie chcesz liczyć trudniejszej objętości.


Trójkąt ograniczony prostymi \( y=0\) , \(x+y=3 \) , \(y=2x\)
można opisać tak:
\(0 \le x \le 1\\
2x \le y \le -x+3\)
Ponadto:
\(0 \le z \le 9-x^2\)