Korzystając z twierdzenia Greena oblicz całkę krzywoliniowe

[TomaszSy]

\(\int_{K}^{} (x+2y)dx+(y^2-4xy)dy\), gdzie\( K\) jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi \(y=4-x^2\) i \(y=0 \)dodatnio skierowanym

[panb]

\(\int_{K}^{} (x+2y)dx+(y^2-4xy)dy\), gdzie\( K\) jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi \(y=4-x^2\) i \(y=0 \)dodatnio skierowanym

rys.png (17.43 KiB) Przejrzano 956 razy

\(P(x,y)=x+2y \So \frac{ \partial P}{ \partial y} =2\\
Q(x,y)=y^2-4xy \So \frac{ \partial Q}{ \partial x} =-4y\)
Z tw. Green'a \(\displaystyle \int_{K}^{} (x+2y)dx+(y^2-4xy)dy=\iint_D(-4y-2)dxdy,\,\,\, D=\{(x,y): -2\le x \le 2,\,\,\, 0\le y \le 4-x^2\}\)

\(\displaystyle \iint_D(-4y-2)dxdy= \int_{-2}^{2} \left( \int_{0}^{4-x^2}(-4y-2)dy \right)dx = \ldots =- \frac{448}{5} \)