Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podaną całkę podwójną po wskazanym obszarze:

[ILikeTurtlesGDamn]

\[ \int\int ydxdy \]
\[ D: x^2+y^2 \le 2x \wedge y \le 0\]

Witam, bardzo proszę o sprawdzenie moich rachunków oraz o potwierdzenie czy dobrze wyznaczyłem kąt czy nie, mam do policzenia taką całkę więc wyznaczam obszar i jest to okrąg o promieniu 1 i środku w punkcie (1,0),
wiedząc, że
\[x=rcos \alpha \wedge y=rsin \alpha \]
podstawiam pod równanie z D i po skróceniu otrzymuje
\[0 \le r \le 2cos \alpha \]
i teraz mam najważniejsze pytanie o kąt alfa, wydaję mi się, że cosinua w tym przypadku musi być większy od zera więc
\[ -\frac{ \pi }{2} \le \alpha \le \frac{ \pi }{2} \]
ale nie jestem pewien bo coś mam problem ze zrozumieniem tych współrzędnych biegunowych.

[panb]

Kąt jest niedobrze.
Obszar D opisują dwie zależności: \(0\le r \le 2\cos \alpha,\,\, r\sin\alpha\le0 \So \frac{3}{2}\pi \le \alpha \le 2\pi,\,\, 0\le r \le 2\cos \alpha\)

Wtedy \(\displaystyle \iint_D ydxdy= \int_{ \frac{3}{2}\pi }^{2\pi} \left( \int_{0}^{2\cos\alpha} r\sin\alpha r dr\right )d\alpha = \int_{ \frac{3}{2}\pi }^{2\pi}\sin\alpha \left( \int_{0}^{2\cos\alpha}r^2 dr\right) d\alpha = \ldots =- \frac{2}{3} \)