napisać całkę

[TomaszSy]

napisać całkę określającą długość cykloidy.

[panb]

napisać całkę określającą długość cykloidy.

Znowu zbyt lapidarne określenie. Chodzi o jedną gałąź cykloidy? Jaka to cykloida (zwykła, skrócona, wydłużona)?

Biorę jedną gałąź zwykłej cykloidy o równaniu \[ \begin{cases}x=R(t-\sin t)\\y=R(1-\cos t) \end{cases} , R>0, t\in \langle 0,2\pi \rangle\]

Długość liczy się całką: \[\displaystyle l= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(x(t)')^2+(y(t)')^2}dt \]

No i to właściwie wszystko. \(\displaystyle x'(t)=R(1-\cos t),\,\,\, y'(t)=R\sin t \)

Odpowiedź: \(\displaystyle l= R \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-\cos t} \,\, dt\)

[korki_fizyka]

napisać całkę określającą długość cykloidy.

Wklepujemy lub kopiuj/wklej w Google :"cykloida długość" i..bingo
https://www.google.com/search?client=fi ... 5%9B%C4%87
co Ty jeszcze robisz na tych "studiach"? nie skończyłeś gimnazjum? tam podobno uczyli wyszukiwania informacji

[panb]

Ale trzeba być krytycznie nastawionym do takich "znalezisk".
Tam jest wzór \(\begin{cases} x= R_t\cdot \left[\varphi - \sin(\varphi)\right] \\ y=-R_t\left[1+\cos (\varphi)\right]\end{cases}\) i on jest niepoprawny, tzn. jest to cykloida, ale jakaś przesunięta pod oś x-ów, bo \( 1+\cos\varphi\ge0\)