Objętość

[mela1015]

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej
\(x(t)=\sin t\), \(y(t)=\cos^2t\), \(0 \le t \le \frac{ \pi }{2} \)

Czy jest do tego jakiś specjalny wzór ?

[panb]

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywych
\(x(t)=sint\), \(y(t)=cos^2t\), \(0 \le t \le \frac{ \pi }{2} \)

Krzywa dana równaniem parametrycznym: \( x=\varphi(t), \,\,\, y=\psi(t),\,\,\, \alpha\le t \le \beta\).
Objętość bryły powstałej na skutek obrotu tej krzywej względem osi OX wyraża wzór:
\[ |V|= \pi\int_{\alpha}^{\beta} \psi^2(t)|\varphi'(t)| dt\]

Tutaj: \(\displaystyle \psi(t)=\cos^2(t),\,\,\, \varphi(t)=\sin(t), \,\,\, 0\le t \le \frac{ \pi }{2} \So |V|=\pi \int_{0}^{\frac{ \pi }{2}} \cos^5t dt= \frac{8}{15}\pi \)

Uwaga: Do obliczenia całki jest wzór: \[ \int \cos^n(x)dx= \frac{1}{n}\sin(x)\cos^{n-1}(x)+ \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)dx \]

Bonus w postaci obrazka (bo ładny)

[panb]

Albo taki obrazek (bo dowcipny).