Ekstrema funkcji wielu zmiennych

[abcmalgorzata830]

Znalezc ekstrema funkcji \(y = f(x)\) danej w postaci uwikłanej \(F(x, y) = 0\):
\(x^2 − 2xy + 5y^2 − 2x + 4y + 1 = 0\),

[octahedron]

\(
F(x,y)=x^2-2xy+5y^2-2x+4y+1=0\\
y'(x)=-\dfrac{F_x}{F_y}=-\dfrac{2x-2y-2}{-2x+10y+4}=\dfrac{y-x+1}{5y-x+2}=0\quad\Leftrightarrow\quad y=x-1\\
y''(x)=-\dfrac{F_{xx}}{F_y}=-\dfrac{1}{5y-x+2}\\
F(x,x-1)=x^2-2x(x-1)+5(x-1)^2-2x+4(x-1)+1=\\ =4x^2-6x+2=0\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=1\\
y''\left(\frac{1}{2}\right)>0\quad\Rightarrow\quad\text{minimum}\\
y''(1)<0\quad\Rightarrow\quad\text{maksimum}\\
\)