Ekstrema funkcji wielu zmiennych

[abcmalgorzata830]

Znalezc najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji w podanym zbiorze

\(f(x, y) = x^2 − xy + y^2\) w zbiorze \(D = \{(x, y) : |x| + |y| \le 1\}\),

[grdv10]

Mamy \(f(x,y)=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge 0\), więc wartość najmniejszą ma w punkcie \((0,0)\), bo tylko on spełnia warunki \(y=0\wedge x-\frac{1}{2}y=0\).

Funkcja \(f\) jest wypukła jako suma kwadratów funkcji liniowych. Maksimum tej funkcji jest więc przyjęte w jednym z punktów ekstremalnych kwadratu \(D\), którymi są \((1,0),\ (0,1),\ (-1,0),\ (0,-1).\) Widać, że w każdym z tych punktów mamy wartość funkcji równą \(1\).

Korzystałem tu z wiedzy dostępnej każdemu studentowi, który miał wykład z optymalizacji.