Ekstrema funkcji wielu zmiennych

[abcmalgorzata830]

zad.1 Znalezc najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji w podanym zbiorze:
a) \(f(x, y) = x^2+y−2x+2y^2\) w trójkacie o wierzchołkach: \(A = (−1, 0), B = (1, 0), C = (0, 1)\)
B) \(f(x, y) = x^3 + y^3 − 3xy \) w prostokącie \(0\le x\le2,-1\le y\le2\)

zad. 2 Znalezc ekstrema funkcji \(y = f(x)\) danej w postaci uwikłanej \(F(x, y) = 0\)
a) \(y^3 + 2xy + x^2 = 0\)
b) \(x^3 + y^3 − 3xy = 0\)

[panb]

zad.1 Znaleźć najmniejsza i największą wartość funkcji w podanym zbiorze:
a) \(f(x, y) = x^2+y−2x+2y^2\) w trójkącie o wierzchołkach: \(A = (−1, 0), B = (1, 0), C = (0, 1)\)

Zadanie rozwiązuje się w dwóch etapach.

1. ekstremum wewnątrz danego obszaru
   \(f'_x=2x-2,\quad f'_y=1+4y \So \begin{cases}f'_x=0\\f'_y=0 \end{cases} \iff x=1, y=- \frac{1}{4} \)
   Punktem, w którym możliwe jest ekstremum jest punkt \( \left( 1,- \frac{1}{4} \right)\). Jednak punkt ten nie leży w zadanym obszarze, więc nie kontynuujemy szukania ekstremów w tym punkcie.
2. szukamy ekstremów na brzegu obszaru
   1. Odcinek prostej AB: \(y=0\), dla \(-1\le x \le 1\)
      \(f(x,0)=x^2-2x, \,\, -1 \le x \le 1 \So f_{min}=f(1,0)=-1,\,\,\, f_{max}=f(1,0)=3\)
   2. Odcinek prostej AC: \(y=x+1\) dla \(-1\le x \le 0\)
      \(f(x,x+1)=x^2+x+1-2x+2(x+1)^2=3(x^2+x+1), \,\, -1\le x \le 0 \\
      f_{min}=f \left( - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)=2,25,\,\,\, f_{max}=f(-1,0)=f(0,1)=3 \)
   3. Odcinek prostej CB: \(y=-x+1\) dla \(0 \le x \le 1\)
      \(f(x,1-x)=x^2+1-x-2x+2(1-x)^2=3x^2-7x+3, \,\, 0 \le x \le 1\\
      f_{min}=f(1,0)=-1,\,\,\, f_{max}=f(0,1)=3\)

Odpowiedź: Funkcja f osiąga w podanym obszarze:
wartość najmniejszą \(f_{min}=-1\) oraz wartość największą \(f_{max}=3\)

Podpunkt b) należy realizować w podobny sposób - spróbuj.

[panb]

zad. 2 Znaleźć ekstrema funkcji \(y = f(x)\) danej w postaci uwikłanej \(F(x, y) = 0\)
a) \(y^3 + 2xy + x^2 = 0\)

1. warunek konieczny: \( y'=\frac{ \partial F}{ \partial x} =0 \wedge \frac{ \partial F}{ \partial y} \neq 0 \)
   \(y'=\frac{ \partial F}{ \partial x} =2x+2y\)
2. szukamy punktów krytycznych ( w których może być ekstremum)
   \( \begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x}=0\\ F(x,y)=0\\\frac{ \partial F}{ \partial y} \neq 0\end{cases} \iff \begin{cases} x+y=0\\y^3+2xy+x^2=0\\ 3y^2+2x\neq 0\end{cases} \iff \begin{cases}y=-x\\-x^3-2x^2+x^2=0\\ 3y^2+2x\neq0 \end{cases} \iff \\ \iff\begin{cases} x=0\\y=0\\3y^2+2x\neq0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=-1\\y=1\\3y^2+2x\neq0 \end{cases} \).
   Zatem jedynym punktem krytycznym jest punkt P=(-1,1).
3. sprawdzenie czy i jakiego rodzaju ekstremum jest w punkcie krytycznym
   \( \frac{ \partial^2 F}{ \partial x^2}=2 \So y''=- \frac{ \frac{ \partial^2 F}{ \partial x^2}}{\frac{ \partial F}{ \partial y}}= \frac{-2}{3y^2+2x}.\,\, P=(-1,1)\So y''(-1)= \frac{-2}{3 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)} =-2<0 \) jest to maksimum.

Odpowiedź: Funkcja y=f(x) dana w postaci uwikłanej F(x,y) osiąga maksimum \(y_{max}=y(-1)=1\)

Bonus - wykres tej funkcji:

Podpunkt b) ... zresztą wiesz

[abcmalgorzata830]

[*]sprawdzenie czy i jakiego rodzaju ekstremum jest w punkcie krytycznym
\( \frac{ \partial^2 F}{ \partial x^2}=2 \So y''=- \frac{ \frac{ \partial^2 F}{ \partial x^2}}{\frac{ \partial F}{ \partial y}}= \frac{-2}{3y^2+2x}.\,\, P=(-1,1)\So y''(-1)= \frac{-2}{3 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)} =-2<0 \) jest to maksimum.
[/list]

Odpowiedź: Funkcja y=f(x) dana w postaci uwikłanej F(x,y) osiąga maksimum \(y_{max}=y(-1)=1\)

Czy mogę prosić o wyjaśnienie dotyczące tego?

[panb]

Czego konkretnie? Odpowiedzi? Wzoru na y''? Dlaczego to maksimum?
Tak się nie stawia pytania.

I jeszcze jedno. Prosić to jedno, ale warto też pomyśleć o kliknięciu kciuka w górę i podziękowaniu za rozwiązanie. Pora też nauczyć się korzystania z LaTeX'a.