Długość krzywej

[mela1015]

Oblicz długość krzywej i napisz parametryzację \( \gamma =(...,...)\)
1) \(y= \frac{2}{3}x \), \(x \in [0,2]\)
2)\(y=x^ \frac{2}{3} \), \(0 \le x \le 1\)

Jak to obliczać?
I jak znaleźć parametryzację?

[korki_fizyka]

http://smurf.mimuw.edu.pl/node/166
http://www.math.uni.wroc.pl/~mpal/acade ... /tydz8.pdf

[panb]

Oblicz długość krzywej i napisz parametryzację \( \gamma =(...,...)\)
1) \(y= \frac{2}{3}x \), \(x \in [0,2]\)
2)\(y=x^ \frac{2}{3} \), \(0 \le x \le 1\)

I jak znaleźć parametryzację?

Nie wszystko na raz.
Parametryzacja to nietrudna sprawa ( opisana ładnie tutaj) i może mieć wiele postaci
1.\( y=\frac{2}{3}x,\,\, x \in [0,2] \iff \gamma:\,\,[0,2]\ni t \to \left(t,\frac{2}{3}t \right) \iff \gamma_1: [0,\frac{2}{3}] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(3t,2t) \)

2. \( y=x^{\frac{2}{3}}, \,\, x\in [0,1] \iff \gamma:\,\,[0,1]\ni t \to \left(t,t^{\frac{2}{3}}\right) \iff \gamma_1: [0,1] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(t^3,t^2) \)

Dalej dasz radę?

[panb]

Teraz długość: \( y= \frac{2}{3}x \)

rys.png (3.92 KiB) Przejrzano 1436 razy

sposób I: z twierdzenia Pitagorasa, bo to odcinek
\[l^2=2^2+ \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{52}{9} \So l= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]

Sposób II: bez parametryzacji (\(f(x)= \frac{2}{3}x\))
\[ l= \int_{0}^{2} \sqrt{1+f'(x)^2} dx= \int_{0}^{2}\sqrt{1+ \frac{4}{9} } dx= \frac{ \sqrt{13} }{3} \cdot 2= \frac{2}{3} \sqrt{13} \]

Sposób IIIa: parametryzacja z funkcją \(\gamma\) - DIY

Sposób IIIb: parametryzacja z funkcją \(\gamma_1(t)=(3t,2t),\,\, t\in \left[0, \frac{2}{3} \right] \)
\[l= \int_{0}^{ \frac{2}{3} } \sqrt{2^2+3^2}dt= \frac{2}{3}\sqrt{13} \]


Ta druga krzywa może być "załatwiona" podobnie (oprócz tw. Pitagorasa, rzecz jasna).

[mela1015]

1.\( y=\frac{2}{3}x,\,\, x \in [0,2] \iff \gamma:\,\,[0,2]\ni t \to \left(t,\frac{2}{3}t \right) \iff \gamma_1: [0,\frac{2}{3}] \to \rr^2, \,\, \gamma_1(t)=(3t,2t) \)

Wciąż nie rozumiem dlaczego taka parametryzacja.

[panb]

Nie widzisz?!! \(y=\frac{2}{3}x: \,\, (x,y)=(x,\frac{2}{3}x)=(t,\frac{2}{3}t)\)

No, nie wierzę?!

[mela1015]

taak, już rozumiem, dziękuję

[mela1015]

a jeśli mam takie dwie krzywe
\(x=2cos2t\)
\(y=3sin2t\)
to parametryzacja będzie wyglądać tak?
\( \gamma (t)=(2cos2t,3sin2t)\)?

[panb]

Oczywiście. A może by tak kliknąć łapkę dziękującą, co?
Stały bywalec powinien o tym wiedzieć.