wykazanie nierównosci
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: wykazanie nierównosci
\(g(x)=\frac{\ln x}{x}\\
g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\Rightarrow\text{maksimum w }x=e\\
g(e)=\frac{1}{e}\\
\left(1+\frac{\ln n}{n^2}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)^k\le \sum\limits_{k=0}^nn^k\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{\ln n}{n}\right)^k\le\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{e}\right)^k<\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{2}\right)^k<2\)
g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\Rightarrow\text{maksimum w }x=e\\
g(e)=\frac{1}{e}\\
\left(1+\frac{\ln n}{n^2}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)^k\le \sum\limits_{k=0}^nn^k\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{\ln n}{n}\right)^k\le\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{e}\right)^k<\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{2}\right)^k<2\)