Dane jest równanie paraboliczne postaci \( uxx-xut+u=2t \) dla x \(\in\) [1,4] i \( t \ge 0 \), \( u(1,t)=t, u(4,t)=t i u(x,0)=0. Wyznaczyć odpowiedni schemat jawny i niejawny. Następnie użyć tych schematów do określenia rozwiązania u(x,t) dla dwóch kolejnych poziomów czasowych. Zastosować siatkę regularną z 4 węzłami na każdym poziomie czasowym oraz krok czasowy \( \Delta t=0 \)
A więc mam problem z wyznaczeniem tych schematów. Wiem, że wybieram sobie węzeł środkowy na pierwszym poziomie czasowym tj. u_i,k. Wyliczam pochodne dla uxx oraz ut. Problem pojawia się z tym współczynnikiem przy ut czyli funkcją x. Jak ją "włączyć" do wzoru przy podstawianiu. To samo tyczy się wyrazu funkcyjnego u. Z prawej strony jest funkcja niezerowa 2t więc też musi być włączona do tego wzoru.
Wyszło mi:
\( uxx_{i,k} \approx \frac{u_{i-1,k}-2u_{i,k}+u_{i+1,k}}{ \Delta x^2} \)
\( ut_{i,k} \approx \frac{u_{i,k+1}-u_{i,k}}{ \Delta t} \)
Podstawiam to obliczone do wzoru wyjściowego i mam wyznaczyć \( u_{i,k+1} \) przy założeniu \( lambda = \frac{ \alpha * \Delta t}{ \Delta x^2} \)
Moje pytanie brzmi jak powyżej, co z tym x; u oraz funkcją po prawej stronie???\)
Równanie paraboliczne - schemat jawny i niejawny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij