Wyznaczyć zbiór, w którym jest zbieżny podany szereg potęgowy

[mirekbirowski]

1) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \)
2) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n} \)

Dostałem cztery przykłady do rozwiązania. Dwa pierwsze udało mi się rozwiązać, ale nie mam pojęcia jak się zabrać za te dwa powyższe.

[panb]

1) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \)

Ten przypadek nie jest skomplikowany
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-3}{2 \sqrt[n]{n} } \right)^n x^n \).
Współczynniki tego szeregu potęgowego \(c_n=\left(\frac{-3}{2 \sqrt[n]{n} } \right)^n\)
Ponieważ \( \Lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \Lim_{n\to\infty} \frac{3}{2 \sqrt[n]{n} }= \frac{3}{2} \), więc promień zbieżności \(R= \frac{2}{3} \)

Odpowiedź: Szereg \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{ \left( 3x\right) ^{n} }{n \cdot 2 ^{n} } \) jest zbieżny dla \(x\in \left( - \frac{2}{3} , \frac{2}{3} \right) \)

Trzeba jeszcze sprawdzić jak wygląda sytuacja na końcach przedziału, ale to już można zrobić samodzielnie (jest to nietrudne).

[panb]

2) \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n} \)

Tutaj nie da się tak od razu przez to (2n).
Podstawmy \(t=(x-2)^2\), wtedy \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n}=\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n \frac{2^n}{n+1}t^n \)
Wtedy \(c_n= \frac{(-1)^n2^n}{n+1} \)
Stosując kryterium Cauchy'ego zamiast d'Alemberta mamy \(R= \Lim_{n\to\infty } | \frac{c_n}{c_{n+1}} |=\ldots = \frac{1}{2} \)

Wobec tego szereg jest zbieżny dla \(|t|< \frac{1}{2} \iff (x-2)^2< \frac{1}{2} \iff 2- \frac{\sqrt2}{2} <x<2+\frac{\sqrt2}{2} \)

Odpowiedź: Szereg \( \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n} }{n+1} \cdot \left( x-2\right) ^{2n} \) jest zbieżny w przedziale \( \left( 2- \frac{\sqrt2}{2} ,2+ \frac{\sqrt2}{2} \right) \)

Powinno się też sprawdzić jak wygląda sytuacja na końcach przedziału, ale to już można zrobić samodzielnie (jest to nietrudne).