Oblicz granicę ciągu

[agix97]

Cześć, bardzo proszę o pomoc z przykładem z granicą ciągu:

\( \Lim_{x\to \infty } = \frac{4n^n}{(n+2)^n} \)

Nie wiem, czy dobrze robię, moja część rozwiązania:
\( \Lim_{x\to \infty } = \frac{4n^n}{(n^n+4n+2^n)} = \Lim_{x\to \infty } = \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{4n}{n^n} + \frac{2^n}{n^n}) } = \Lim_{x\to \infty } = \frac{4}{1 + \frac{2^n}{n^n} } \)

Niezbyt wiem, jak dalej, chyba nie mogę po prostu wziąć wszystkiego w mianowniku w nawias do potęgi n...? O ile w ogóle moje rozwiązywanie jest dobre. Dziękuję z góry za pomoc

[kerajs]

Niedobrze.

\( \Lim_{x\to \infty } \frac{4n^n}{(n+2)^n} =\Lim_{x\to \infty } \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{2}{n} )^n} = \Lim_{x\to \infty } \frac{4}{[(1+ \frac{2}{n} )^{ \frac{n}{2} }]^2}= \frac{4}{e^2} \)

[agix97]

A czy wyjęcie tego \(n^n\) przed nawias w mianowniku odbywa się w ten sposób (bo nie wiem czy dobrze rozumiem):
\((n+2)^n = [n \cdot (1+ \frac{2}{n})]^n = n^n \cdot (1+ \frac{2}{n})^n \) ?

Później mogę po prostu napisać ze wzoru, że \((1+ \frac{2}{n})^n = e^2 \)?

[kerajs]

A czy wyjęcie tego \(n^n\) przed nawias w mianowniku odbywa się w ten sposób (bo nie wiem czy dobrze rozumiem):
\((n+2)^n = [n \cdot (1+ \frac{2}{n})]^n = n^n \cdot (1+ \frac{2}{n})^n \) ?

Tak.

Później mogę po prostu napisać ze wzoru, że \((1+ \frac{2}{n})^n = e^2 \)?

Tak

[agix97]

Super, dziękuję za pomoc!

[kerajs]

Jerry zwrócił mi uwagę, iż de facto:

\( \Lim_{x\to \infty } \frac{4n^n}{(n+2)^n} =\frac{4n^n}{(n+2)^n} \)

Dziękuję mu za wyłapanie tego błędu.

Prawdopodobnie przykład ma wyglądać tak:
\( \Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4n^n}{(n+2)^n} =\Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{2}{n} )^n} = \Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4}{[(1+ \frac{2}{n} )^{ \frac{n}{2} }]^2}= \frac{4}{e^2} \)