Cześć, bardzo proszę o pomoc z przykładem z granicą ciągu:
\( \Lim_{x\to \infty } = \frac{4n^n}{(n+2)^n} \)
Nie wiem, czy dobrze robię, moja część rozwiązania:
\( \Lim_{x\to \infty } = \frac{4n^n}{(n^n+4n+2^n)} = \Lim_{x\to \infty } = \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{4n}{n^n} + \frac{2^n}{n^n}) } = \Lim_{x\to \infty } = \frac{4}{1 + \frac{2^n}{n^n} } \)
Niezbyt wiem, jak dalej, chyba nie mogę po prostu wziąć wszystkiego w mianowniku w nawias do potęgi n...? O ile w ogóle moje rozwiązywanie jest dobre. Dziękuję z góry za pomoc
Oblicz granicę ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Oblicz granicę ciągu
Niedobrze.
\( \Lim_{x\to \infty } \frac{4n^n}{(n+2)^n} =\Lim_{x\to \infty } \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{2}{n} )^n} = \Lim_{x\to \infty } \frac{4}{[(1+ \frac{2}{n} )^{ \frac{n}{2} }]^2}= \frac{4}{e^2} \)
\( \Lim_{x\to \infty } \frac{4n^n}{(n+2)^n} =\Lim_{x\to \infty } \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{2}{n} )^n} = \Lim_{x\to \infty } \frac{4}{[(1+ \frac{2}{n} )^{ \frac{n}{2} }]^2}= \frac{4}{e^2} \)
Re: Oblicz granicę ciągu
A czy wyjęcie tego \(n^n\) przed nawias w mianowniku odbywa się w ten sposób (bo nie wiem czy dobrze rozumiem):
\((n+2)^n = [n \cdot (1+ \frac{2}{n})]^n = n^n \cdot (1+ \frac{2}{n})^n \) ?
Później mogę po prostu napisać ze wzoru, że \((1+ \frac{2}{n})^n = e^2 \)?
\((n+2)^n = [n \cdot (1+ \frac{2}{n})]^n = n^n \cdot (1+ \frac{2}{n})^n \) ?
Później mogę po prostu napisać ze wzoru, że \((1+ \frac{2}{n})^n = e^2 \)?
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Oblicz granicę ciągu
Jerry zwrócił mi uwagę, iż de facto:
Prawdopodobnie przykład ma wyglądać tak:
\( \Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4n^n}{(n+2)^n} =\Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{2}{n} )^n} = \Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4}{[(1+ \frac{2}{n} )^{ \frac{n}{2} }]^2}= \frac{4}{e^2} \)
Dziękuję mu za wyłapanie tego błędu.
Prawdopodobnie przykład ma wyglądać tak:
\( \Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4n^n}{(n+2)^n} =\Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4n^n}{n^n(1+ \frac{2}{n} )^n} = \Lim_{\color{red}{n}\to \infty } \frac{4}{[(1+ \frac{2}{n} )^{ \frac{n}{2} }]^2}= \frac{4}{e^2} \)