Oblicz granicę

[agix97]

Cześć, mam wątpliwość co do poprawności rozwiązania zadania i prosiłabym o sprawdzenie. Przykład:

\( \Lim_{x\to \infty } (n \cdot ( \frac{1}{n^2+1}+ \frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+...+\frac{1}{n^2+n})) \)

Chciałam skorzystać tutaj w tym momencie zadania z twierdzenia o trzech ciągach, ale nie jestem do końca pewna, czy dobrze to robię:

\( n \cdot ( \frac{1}{n^2+n}+ \frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+...+\frac{1}{n^2+n})
\le n \cdot ( \frac{1}{n^2+1}+ \frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+...+\frac{1}{n^2+n}) \le
n \cdot ( \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+...+\frac{1}{n^2}) \)

Nie jestem pewna zwłaszcza co do ciągu ograniczającego z góry. Czy powinno być w mianowniku \(n^2\) czy może \(n^2+1\) i czy mogłabym prosić o wytłumaczenie czemu tak, a nie inaczej? Wynik to 1. Na ten moment tak mi wychodzi, ale nie jestem przekonana co do mianowników.

Dziękuję z góry, pozdrawiam!

[eresh]

Cześć, mam wątpliwość co do poprawności rozwiązania zadania i prosiłabym o sprawdzenie. Przykład:

\( \Lim_{x\to \infty } (n \cdot ( \frac{1}{n^2+1}+ \frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+...+\frac{1}{n^2+n})) \)

Chciałam skorzystać tutaj w tym momencie zadania z twierdzenia o trzech ciągach, ale nie jestem do końca pewna, czy dobrze to robię:

\( n \cdot ( \frac{1}{n^2+n}+ \frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+...+\frac{1}{n^2+n})
\le n \cdot ( \frac{1}{n^2+1}+ \frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+...+\frac{1}{n^2+n}) \le
n \cdot ( \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+...+\frac{1}{n^2}) \)

Nie jestem pewna zwłaszcza co do ciągu ograniczającego z góry. Czy powinno być w mianowniku \(n^2\) czy może \(n^2+1\) i czy mogłabym prosić o wytłumaczenie czemu tak, a nie inaczej? Wynik to 1. Na ten moment tak mi wychodzi, ale nie jestem przekonana co do mianowników.

Dziękuję z góry, pozdrawiam!

jest dobrze, przecież \(\frac{1}{n^2+k}<\frac{1}{n^2}\) dla każdego \(k\in\mathbb{N} \)

[agix97]

Okej, po prostu nie do końca rozumiem, czemu jest w ciągu ograniczającym od góry w mianowniku \(n^2\), a nie \(n^2+1\)?

Robiąc inne przykłady bez ułamków np. \( \sqrt[n]{2^n+4^n+8^n} \) zastosuję twierdzenie tak:
\( \sqrt[n]{8^n} \le \sqrt[n]{2^n+4^n+8^n} \le \sqrt[n]{8^n+8^n+8^n} \), i wybieram tą największą liczbę dokładnie tą samą.

a w przytoczonym przeze mnie wcześniej przykładzie pierwszy wyraz ciągu to \( \frac{1}{n^2+1} \), a ostatni \( \frac{1}{n^2+n}\) . Dlatego nie rozumiem, czemu do ciągu ograniczającego od dołu wrzucam w mianownik \(n^2+n\), czyli ten największy identycznie jak w przykładzie, a w ograniczającym od góry daję \(n^2\), a nie najmniejszy z tego ciągu czyli \(n^2+1\). Tam jest znak \( \le \), a nie tylko mniejsze niż. Nie wiem czy dobrze tłumaczę, o co w ogóle mi chodzi...

[eresh]

Okej, po prostu nie do końca rozumiem, czemu jest w ciągu ograniczającym od góry w mianowniku \(n^2\), a nie \(n^2+1\)?

może być i \(n^2+1\) w mianowniku, na to samo wyjdzie

[agix97]

Sprawdzałam już wcześniej i tak, faktycznie wychodzi tak samo, pytanie, czy to jest też poprawnie matematycznie?

[eresh]

Sprawdzałam już wcześniej i tak, faktycznie wychodzi tak samo, pytanie, czy to jest też poprawne?

tak