Oblicz objętość bryły

[Catsanddogs]

Oblicz objetość bryły wyciętej z kuli przez stożek
równanie kuli:
\( x^2 + y^2 + z^2 \le 2 \)
równanie stożka
\( z = \sqrt{x^2 + y^2} \)

[Catsanddogs]

Czy dobrze rozumiem, że pierwsze muszę obliczyć objętość kuli odjąć objętość stożka?

[panb]

Nie, bo to wygląda tak (jak gałka lodów włoskich )

ilustracja

rys.png (102.74 KiB) Przejrzano 1038 razy

To się liczy za pomocą całek. Wprowadzamy współrzędne sferyczne (|J| to Jakobian)
\( \begin{cases}x=r\sin\theta\cos\varphi\\ y=r\sin\theta\sin\varphi\\ z=r\cos\theta\\|J|=r^2\sin\theta \end{cases} \)
Wtedy równania brył opisanych w zadaniu przyjmują postać:
\(x^2+y^2+z^2\le2 \iff r\le \sqrt2\\
z=\sqrt{x^2+y^2} \iff r\cos\theta=r\sin\theta \iff \tg\theta=1 \iff \theta= \frac{\pi}{4} \)

Stosując całkę potrójną mamy: \(|V|=\iiint_Sr^2\sin\theta dr d\varphi d\theta\), gdzie \(S:\,\, \begin{cases}0\le r \le \sqrt2 \\ 0\le \varphi \le 2\pi \\ 0\le \theta \le \frac{\pi}{4}\end{cases} \)

Wobec tego \(|V|= \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi/4}\sin\theta d\theta \int_{0}^{\sqrt2}r^2 dr= \frac{2\sqrt2}{3}\cdot 2\pi \cdot \left( 1-\frac{\sqrt2}{2}\right) = \frac{4}{3}\pi(\sqrt2-1) \)

Mam nadzieję, że to o całkę chodziło.