Całka

[mela1015]

Oblicz całkę \( \int_{A} fdm_n \) (dla odpowiedniego n) jeżeli:

\(f(x,y)=xy^3 dxdy\) , A jest obszarem położonym w pierwszej ćwiartce i ograniczonymi liniami

\(xy=1\),
\(xy=2\),
\(y=x\),
\(y=2x\)

[grdv10]

Tego rodzaju całkę można policzyć na dwa sposoby. Ale przede wszystkim trzeba ten obszar narysować.

1. Dzielimy obszar na dwa podobszary i każdy opisujemy nierównościami. Liczymy całki po każdym obszarze i sumujemy.
2. Można dokonać zamiany zmiennych \(xy=s,\ \frac{y}{x}=t\) przechodząc na kwadrat \(\langle 1,2\rangle^2.\) Tu po prostu trzeba wyznaczyć jakobian w zależności od \(s,t\). Jest tak dlatego, że w twierdzeniu o zamianie zmiennych mnoży się przez moduł z jakobianu. Tutaj finalnie mamy całkę iterowaną \[\int\limits_{1}^{2}\left(\int\limits_1^2\frac{1}{2}s^2\text{d}s\right)\text{d}t.\]

Odpowiedź: Wartością całki jest \(\frac{7}{6}\).

[mela1015]

Tu po prostu trzeba wyznaczyć jakobian w zależności od \(s,t\).

Jak wyznaczyć ten jakobian? W sensie pochodną po x i po y?

[grdv10]

Stopień zaawansowania Twojego wykładu zależy od kierunku, który studiujesz. Sądząc po Twoich pytaniach z funkcji analitycznych czy topologii, jest to matematyka. Tak więc twierdzenie o zamianie zmiennych jest jak najbardziej na miejscu.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Jacobiego

Popatrz na przykład \(2\times 2\).

[mela1015]

To rozumiem jak się oblicza ale nie wiem jakie mam wziąć funkcje po prostu za \(f_1(x,y)=xy\) za \(f_2(x,y)= \frac{y}{x} \)?

[grdv10]

Tak. Ja tylko oznaczyłem to \(s,t\) i już.

[mela1015]

Tutaj finalnie mamy całkę iterowaną \[\int\limits_{1}^{2}\left(\int\limits_1^2\frac{1}{2}s^2\text{d}s\right)\text{d}t.\]

Skąd dostajemy taką całkę iterowaną ?

[mela1015]

wyznacznik Jakobianu wyszedł mi \( \frac{2y}{x} \)