ekstremum warunkowe funkcji

[TomaszSy]

wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych przy zadanym warunku.
f(x,y)=6x+8y , \(x^2+y^2=1\)

[grdv10]

Wstawiamy \(x=\cos t,\ y=\sin t\) dla \(0\leqslant t\leqslant 2\pi\). Wtedy mamy funkcję \(g(t)=6\cos t+8\sin t\). Łatwo sprawdzić, że \(g_{\text{min}}=-10\) oraz \(g_{\text{max}}=10\). W tym celu zauważamy, że \(\frac{g(t)}{10}=\frac{6}{10}\cos t+\frac{4}{10}\sin t\), a skoro \(0{,}6^2+0{,}4^2=1\), to istnieje kąt \(\alpha\) o tej własności, że \(\sin\alpha=0{,}6\) oraz \(\cos\alpha=0{,}4\), co w efekcie daje nam \(\frac{g(t)}{10}=\sin(\alpha+t)\) oraz \(-1\leqslant\frac{g(t)}{10}\leqslant 1.\)

Widać, że skoro \(f(x,y)=6x+8y\), to maksimum mamy wtedy, gdy \(x=0{,}6, y=0{,}8\), a minimum, gdy \(x=-0{,}6, y=-0{,}8.\)