Ekstrema Lokalne

[ProveAllEvery]

1)Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji f , f(x) = \( \frac{|x^2+2x-3|}{x^2} \)

2) Funkcja f(x) = \( \frac{x^2-ax+b}{x-5}\) ma w punkcie 3 maksimum lokalne równe 1. Wyznacz a ,b oraz pozostałe ekstrema tej funkcji.

[eresh]

2) Funkcja f(x) = \( \frac{x^2-ax+b}{x-5}\) ma w punkcie 3 maksimum lokalne równe 1. Wyznacz a ,b oraz pozostałe ekstrema tej funkcji.

\(f'(x)=\frac{(2x-a)(x-5)-x^2+ax-b}{(x-5)^2}\\
f'(x)=\frac{x^2-10x+5a-b}{(x-5)^2}\\
f'(3)=0\So 9-30+5a-b=0\So b=5a-21\\
f(3)=1\So \frac{9-3a+b}{3-5}=1\So 9-3a+5a-21=-2\So a=5\\
f'(x)=\frac{x^2-10x+21}{(x-5)^2}\\
f'(x)=\frac{(x-7)(x-3)}{(x^2-5)^2}\\
f_{\min}=f(7)\)

[eresh]

1)Wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) funkcji f , f(x) = \( \frac{|x^2+2x-3|}{x^2} \)

\(f(x)=\begin{cases}\frac{x^2+2x-3}{x^2}\mbox{ dla }x\in (-\infty, -3]\cup [1,\infty)\\ \frac{-x^2-2x+3}{x^2}\mbox{ dla }x\in (-3,0)\cup (0,1)\end{cases}\)
i analogicznie jak: https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=89397

[Jerry]

1) Albo inaczej:
\( f(x) = \frac{|x^2+2x-3|}{x^2} =\left|\frac{x^2+2x-3}{x^2}\right|\wedge D=\rr\setminus \{\ 0\ \}\)
Rozpatrzmy
\( g(x) = \frac{x^2+2x-3}{x^2}\wedge D=\rr\setminus \{\ 0\ \}\)
w aspekcie granic i ekstremów; naszkicujmy wykresy \(g(x)\ \text{ oraz } f(x)=|g(x)|\) i odczytajmy ekstrema z wykresu - zwłaszcza te nieróżniczkowalne minima; dla \(x=-3\) oraz \(x-1\)!

Pozdrawiam

[edited] poprawa wiadomości