Wyznacz ekstrema lokalne.

[ProveAllEvery]

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji (o ile istnieją) f(x) = \(\begin{cases}x^3+8x^2+21x+18, jeśli x < -2 \\ \frac{x^2-4}{x^2+1}, jeśli x \ge -2 \\ \end{cases}\)

[eresh]

dla x<-2
\(f'(x)=3x^2+16x+21=3(x+\frac{7}{3})(x+3)\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty. -3)\cup (-\frac{7}{3},-2)\\
f'(x)<0\iff x\in (-3,-\frac{7}{3})\\
f_{\max}=f(-3)\\
f_{\min}=f(-\frac{7}{3})\)

dla x>-2
\(f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-4)}{(x^2+1)^2}=\frac{2x(x^2+1-x^2+4)}{(x^2+1)^2}=\frac{10x}{(x^2+1)^2}\\
f'(x)>0\iff x>0\\
f'(x)<0\iff -2<x<0\\
f_{\min}=f(0)\)

dla x=-2
\(\Lim_{x\to -2^-}(3x^2+16x+21)=1\\
\Lim_{x\to -2^+}\frac{10x}{(x^2+1)^2}=-\frac{4}{5}\\
\)
pochodna w -2 nie istnieje
dla \(x]\in(-\frac{7}{3},-2)\) funkcja jest rosnąca, dla \(x\in (-2,0)\) jest malejąca, więc \(f_{\max}=f(-2)\)

[Jerry]

dla \(x\in(-\frac{7}{3},-2)\) funkcja jest rosnąca, dla \(x\in (-2,0)\) jest malejąca, więc

policzmy:
\(\Lim_{x\to-2^-}f(x)=0\\
\Lim_{x\to-2^+}f(x)=f(-2)=0\)
i

\(f_{\max}=f(-2)\)

Jest to istotne, bo jeśli byłoby
\(\Lim_{x\to-2^-}f(x) >f(-2)\)
to maksimum w \(x=-2\) by nie było!

Pozdrawiam