Znajdz ekstrema lokalne funkcji i Oblicz pole obszaru D

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
future
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 24 lut 2020, 12:46
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

Znajdz ekstrema lokalne funkcji i Oblicz pole obszaru D

Post autor: future » 24 lut 2020, 13:12

Witam, bardzo potrzebuję rozwiązania dwóch zadań

1. Znajdz ekstrema lokalne funkcji f : R² → R zadanej wzorem:
f(x, y) = x² − xy + 2y² − x + 4y − 5

2. Oblicz pole obszaru D ograniczonego krzywymi y = x², y = 8 − x²

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14380
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8460 razy
Płeć:

Re: Znajdz ekstrema lokalne funkcji i Oblicz pole obszaru D

Post autor: eresh » 24 lut 2020, 13:35

\(\frac{\partial f}{\partial x}=2x-y-1\\
\frac{\partial f}{\partial y}=-x+4y+4\\
\begin{cases}2x-y-1=0\\-x+4y+4=0\end{cases}\So\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}\\
\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=2\\
\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-1\\
\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=4\\

\begin{vmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2}(0,-1)& \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,-1)\\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,-1)&\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(0,-1)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & -1\\ -1&4\end{vmatrix}=10>0\; \wedge \;\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(0,-1)>0\\
f_{min}=f(0,-1)
\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14380
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8460 razy
Płeć:

Re: Znajdz ekstrema lokalne funkcji i Oblicz pole obszaru D

Post autor: eresh » 24 lut 2020, 14:13

future pisze:
24 lut 2020, 13:12

2. Oblicz pole obszaru D ograniczonego krzywymi y = x², y = 8 − x²
\(|D|=\int_{-2}^2(8-x^2-x^2)dx=\int_{-2}^2(8-2x^2)dx= \left[ 8x-\frac{2x^3}{3}\right] _{-2}^2=16-\frac{16}{3}-(-16+\frac{16}{3})=\frac{64}{3}\)