Wyznacz ekstremale funkcjonału. Sprawdź analityczność funkcji.

[nowys53]

Bardzo prosiłbym o pomoc, z racji tego, że ogólnie rozumiem temat, ale nie bardzo wiem jak policzyć konkretne przykłady które są mi naprawdę potrzebne. Poniżej zamieszczam część z nich. Jeśli jest to możliwe prosiłbym bardzo o rozwiązanie krok po kroku, jednak sama wskazówka czy też ukierunkowanie może być dla mnie zbawienne, więc za wszelką pomoc również dziękuję.

Zad.1
Wyznacz ekstremum warunkowe funkcjonału:
\(I=\int _0^1\:\left(y'\right)^2+2\left(z'\right)^2dx
2y=x^2+3-2z
y\left(0\right)=0
y\left(1\right)=1
z\left(0\right)=0
z\left(1\right)=1\)

W zadaniu pierwszym dochodzę jedynie do momentu, gdzie dostaję układ równań:
\( \begin{cases}2\lambda \left(x\right)-4z''=0 \\ 2\lambda \left(x\right)-2y''=0
\end{cases}\)


Zad. 2
Wyznacz ekstremale funkcjonału przyjmując ustalone warunki brzegowe
\(I=\int _a^b\:\left(2y_1y_2+\left(y_1'\right)^2+\left(y_2'\right)^2\right)dx\)

W tym zadaniu natomiast dotarłem do momentu gdzie uzyskuję równanie \:
\(2y_2-2y_2'''' \) - pochodna 4 rzedu


Zad. 3
Wyznaczyć funkcję analityczną dla której część urojona przyjmuje wartość:
\(v\left(x,y\right)=e^{2x}\cdot sin\left(2y\right)+x^2-y^2\)

Zad. 4
Sprawdź analityczność funkcji:
\(f\left(z\right)=\frac{z+1}{z}\)


Zadania 3 oraz 4 są dla mnie kompletnie nieznane i nie mam pojęcia jak je ugryźć. Byłbym wdzięczny za jakąkolwiek pomoc.

[nowys53]

Bardzo prosiłbym o pomoc, z racji tego, że ogólnie rozumiem temat, ale nie bardzo wiem jak policzyć konkretne przykłady które są mi naprawdę potrzebne. Poniżej zamieszczam część z nich. Jeśli jest to możliwe prosiłbym bardzo o rozwiązanie krok po kroku, jednak sama wskazówka czy też ukierunkowanie może być dla mnie zbawienne, więc za wszelką pomoc również dziękuję.

Zad.1
Wyznacz ekstremum warunkowe funkcjonału:
\(I=\int _0^1\:\left(y'\right)^2+2\left(z'\right)^2dx;
2y=x^2+3-2z;
y\left(0\right)=0;
y\left(1\right)=1;
z\left(0\right)=0;
z\left(1\right)=1;\)

Nie potrafię edytować więc chciałem poprawić treść w pierwszym zadaniu