Oblicz granicę ciągu

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
wojtasekpl
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 04 maja 2013, 20:10
Podziękowania: 23 razy
Płeć:

Oblicz granicę ciągu

Post autor: wojtasekpl »

\(a_n= \sqrt[n]{ \frac{e^n+5^n}{4^n+5^n} } \)
oraz
\(a_n= \sqrt[n]{ \frac{2^n+e}{e^n+4^n} } \)

Bardzo proszę o pomoc. Domyślam się jak zacząć, ale co później zrobić z tą liczbą e? Wykorzystać wzór na liczbę e czy trzeba za nią podstawić coś?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: eresh »

wojtasekpl pisze: 09 lut 2020, 11:54 \(a_n= \sqrt[n]{ \frac{e^n+5^n}{4^n+5^n} } \)
\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{5^n((\frac{e}{5})^n+1)}{5^n((\frac{4}{5})^n+1)}}=[1^0]=1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: eresh »

wojtasekpl pisze: 09 lut 2020, 11:54
\(a_n= \sqrt[n]{ \frac{2^n+e}{e^n+4^n} } \)

\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n(1+\frac{e}{2^n})}{4^n((\frac{e}{4})^2+1)}}=\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{e}{2^n})}{2^n((\frac{e}{4})^2+1)}}=\Lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{e}{2^n})}{((\frac{e}{4})^2+1)}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
wojtasekpl
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 04 maja 2013, 20:10
Podziękowania: 23 razy
Płeć:

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: wojtasekpl »

eresh pisze: 09 lut 2020, 12:42
wojtasekpl pisze: 09 lut 2020, 11:54
\(a_n= \sqrt[n]{ \frac{2^n+e}{e^n+4^n} } \)

\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n(1+\frac{e}{2^n})}{4^n((\frac{e}{4})^2+1)}}=\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{e}{2^n})}{2^n((\frac{e}{4})^2+1)}}=\Lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{e}{2^n})}{((\frac{e}{4})^2+1)}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\)
A jak mam np. liczbę \( \pi\) zamiast e to nadal robię tak samo?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: eresh »

wojtasekpl pisze: 09 lut 2020, 16:27
eresh pisze: 09 lut 2020, 12:42
wojtasekpl pisze: 09 lut 2020, 11:54
\(a_n= \sqrt[n]{ \frac{2^n+e}{e^n+4^n} } \)

\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n(1+\frac{e}{2^n})}{4^n((\frac{e}{4})^2+1)}}=\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{e}{2^n})}{2^n((\frac{e}{4})^2+1)}}=\Lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{e}{2^n})}{((\frac{e}{4})^2+1)}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\)
A jak mam np. liczbę \( \pi\) zamiast e to nadal robię tak samo?
tak
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ