Zbieżność ciągu

[rufus14]

Niech \((a_{n})\) i \((b_{n}), b_{n} \neq 0, n \in \mathbb{N}\) będą ciągami zbieżnymi lub rozbieżnymi do \(+\infty\). Przeprowadzić pełną dyskusję zbieżności (rozbieżności) ciągu \(\left ( \frac{a_{n}}{b_{n}} \right )\). Zaprezentowane fakty uzasadnić.

[grdv10]

Jest tu sporo przypadków do rozważenia.

1. Niech oba ciągi będą zbieżne, oznaczmy ich granice przez \(a,b\).
   • jeśli \(b\ne 0\), to iloraz zmierza do \(\dfrac{a}{b}\),
   • Jeśli \(b=0\), to iloraz może być zbieżny, mieć granicę niewłaściwą albo w ogóle nie mieć granicy. Zbieżność: \(a_n=b_n=\dfrac{1}{n}\), granica niewłaściwa: \(a_n=1\), \(b_n=\dfrac{1}{n}\), brak granicy \(a_n=1\), \(b_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\).
2. Niech \((a_n)\) będzie zbieżny, a \((b_n)\) rozbieżny...

Zaproponuj i rozważ wszystkie przypadki.