Korzystajac z definicji Cauchy’ego granicy funkcji wykazac, że :
\(\Lim_{x\to 1 } (3x-8) = 5 \)
defiicja Cauchy'ego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: defiicja Cauchy'ego
Ta granica jest równa -5.
Definicja Cauchy'ego:
\[ \Lim_{x\to x_0} f(x)=g \iff \forall \varepsilon >0\,\,\, \exists \delta >0 :\,\, |x-x_0|<\delta \So |f(x)-g|< \varepsilon \]
\(|3x-8+5|< \varepsilon \iff - \varepsilon <3x-3< \varepsilon \iff \frac{3- \varepsilon }{3}<x< \frac{3+ \varepsilon }{3} \iff 1- \frac{ \varepsilon }{3}<x<1+ \frac{ \varepsilon }{3} \iff |x-1|< \frac{ \varepsilon }{3} \)
Zatem, dla dowolnego \( \varepsilon >0, \)
\[\delta = \frac{ \varepsilon }{3} \So |x-1|< \delta \So |3x-8 +5|< \varepsilon \]
Zgodnie z definicją Cauchy'ego oznacza to, że \( \Lim_{x\to 1}(3x-8)=-5 \)
Definicja Cauchy'ego:
\[ \Lim_{x\to x_0} f(x)=g \iff \forall \varepsilon >0\,\,\, \exists \delta >0 :\,\, |x-x_0|<\delta \So |f(x)-g|< \varepsilon \]
\(|3x-8+5|< \varepsilon \iff - \varepsilon <3x-3< \varepsilon \iff \frac{3- \varepsilon }{3}<x< \frac{3+ \varepsilon }{3} \iff 1- \frac{ \varepsilon }{3}<x<1+ \frac{ \varepsilon }{3} \iff |x-1|< \frac{ \varepsilon }{3} \)
Zatem, dla dowolnego \( \varepsilon >0, \)
\[\delta = \frac{ \varepsilon }{3} \So |x-1|< \delta \So |3x-8 +5|< \varepsilon \]
Zgodnie z definicją Cauchy'ego oznacza to, że \( \Lim_{x\to 1}(3x-8)=-5 \)