czy funkcja
f(x) = sgn x ma punkty nieciagłosci drugiego rodzaju?
Odpowiedz uzasadnić
rodzaj nieciągłości funkcji sgnx
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: rodzaj nieciągłości funkcji sgnx
Ta funkcja jest ciągła wszędzie poza zerem. W zerze ma skok równy \(2\), albowiem \(\lim\limits_{x\to 0^-}\text{sgn}(x)=-1\), zaś \(\lim\limits_{x\to 0^+}\text{sgn}(x)=1.\) Tak więc moduł różnicy granic jednostronnych (czyli skok) ma wartość \(2\). Skok to nieciągłość pierwszego rodzaju.
Ogólnie funkcja monotoniczna określona w przedziale ma w każdym punkcie granice jednostronne. Dlatego wszystkie jej ewentualne punkty nieciągłości są pierwszego rodzaju. Można udowodnić, że jest ich wtedy co najwyżej przeliczalnie wiele. A signum jest funkcją niemalejącą. Podobna uwaga odnosi się do funkcji przedziałami monotonicznych (są nimi np. funkcje wypukłe czy wklęsłe), funkcji o wahaniu skończonym (to - zgodnie z twierdzeniem Jordana - różnice dwóch funkcji niemalejących) itp.
Ogólnie funkcja monotoniczna określona w przedziale ma w każdym punkcie granice jednostronne. Dlatego wszystkie jej ewentualne punkty nieciągłości są pierwszego rodzaju. Można udowodnić, że jest ich wtedy co najwyżej przeliczalnie wiele. A signum jest funkcją niemalejącą. Podobna uwaga odnosi się do funkcji przedziałami monotonicznych (są nimi np. funkcje wypukłe czy wklęsłe), funkcji o wahaniu skończonym (to - zgodnie z twierdzeniem Jordana - różnice dwóch funkcji niemalejących) itp.