zbadaj różniczkowalność i ciągłość funkcji

[rwefhweo]

\(f(x)=(1-|x|)^2\)
w przedziale \(\langle -1,1\rangle \)
pełne rozwiązanie poproszę

[Jerry]

FAKT: Funkcje wielomianowe są ciągłe i różniczkowalne w \( \rr \)

\(y=f(x)=(1-|x|)^2=\begin{cases}(1+x)^2\ \Leftarrow\ x\in \langle -1;\ 0)\\(1-x)^2\ \Leftarrow\ x\in \langle 0;\ 1\rangle \end{cases}\)
Podejrzenie nieciągłości w \(x=0\)
Ale
\( \Lim_{x\to 0^- }f(x)= \Lim_{x\to 0^+ }f(x)=1\)
zatem ciągła w całej dziedzinie

\(y'=f'(x)=(1-|x|)^2=\begin{cases}2(1+x)\ \Leftarrow\ x\in ( -1;\ 0)\\-2(1-x)\ \Leftarrow\ x\in ( 0;\ 1) \end{cases}\)
Podejrzenie nieróżniczkowalności w \(x=0\)
Ponieważ
\( \Lim_{x\to 0^- }f'(x)=2\ne -2= \Lim_{x\to 0^+ }f'(x)\)
to nieróżniczkowalna w \(x=0\)

Pozdrawiam
PS. Ja zwyczajowo otwieram przedziały określoności pochodnej...

[edited] za wolno piszę w kodzie...

[Jerry]

Mamy \(f(x)=(1-|x|)^2=1+x^2-2x|x|.\)

Jesteś pewny?

Pozdrawiam

[grdv10]

Nie jestem. Masz rację, z rozpędu napisałem. Oczywiście to zmienia werdykt o 180 stopni. Swój post skasowałem, aby nie wprowadzać w błąd tym bardziej, że był wyżej niż Twój - poprawny. Dzięki za czujność.

No więc krótko: \(f(x)=1+x^2-2|x|\) i ciągłość mamy za darmo, zaś nieróżniczkowalność wynika z nieróżniczkowalności modułu. Podtrzymuję swoją (skasowaną już) uwagę, że matematyk jest człowiekiem leniwym i unika zbędnych rachunków.

PS. Ja zwyczajowo otwieram przedziały określoności pochodnej...

Pozwolę sobie w zamian na pewną refleksję o granicach. Chodzi mi tu o końce przedziału, tutaj \(\pm 1\). Często mówi się o ciągłości jednostronnej na końcach. Taka potrzeba (sztucznie) zachodzi np. dla funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}.\) Jednak w myśl definicji granicy nie ma potrzeby się rozdrabniać i można spokojnie napisać, że \(\lim\limits_{x\to 1}\sqrt{1-x^2}=0.\) Ma małe znaczenie fakt, że punkty z sąsiedztwa jedynki bierzemy tylko po lewej stronie. Tak więc nie musimy mówić o granicy lewostronnej. O tym samym myślę w kontekście różniczkowalności funkcji z tematu na końcach przedziału.