Oblicz granice ciagu

[Catsanddogs]

Czy dobrze mi się wydaje że ta granica nie istnieje bo
lim x->(-pi) ctgx (nie istnieje) ?

[panb]

Nie, to jest granica typu \(1^ \infty \), ale tylko z lewej strony, więc pewnie granica nie istnieje.

[radagast]

Istnieje z obu stron i wynosi \(e^ \frac{1}{\pi} \)

[panb]

Udowodnij!

[radagast]

dziś tylko obrazek:

[panb]

Ok, już widzę. L'Hospitalem się tego cotangensa załatwia.

[radagast]

\( \Lim_{x\to -\pi } \left(\frac{3x+2\pi}{4x+3\pi} \right)^{\ctg x} =\Lim_{x\to -\pi } e^{\ln \left(\frac{3x+2\pi}{4x+3\pi} \right)^{\ctg x}} =\Lim_{x\to -\pi } e^{{\ctg x}\ln \left(\frac{3x+2\pi}{4x+3\pi} \right)} =\Lim_{x\to -\pi } e^{ \frac{\ln \left(\frac{3x+2\pi}{4x+3\pi} \right)}{\tg x} } =^H= \Lim_{x\to -\pi } e^{ \frac{\frac{4x+3\pi}{3x+2\pi} \cdot \frac{3(4x+3\pi)-4(3x+4\pi)}{(4x+3\pi)^2} }{ \frac{1}{cos^2x} } }=\\
\Lim_{x\to -\pi } e^{\frac{\cos^2x}{3x+2\pi} \cdot \frac{3(4x+3\pi)-4(3x+2\pi)}{4x+3\pi} } = \Lim_{x\to -\pi } e^{\frac{\cos^2x}{3x+2\pi} \cdot \frac{\pi}{4x+3\pi} } =e^{\frac{1}{-\pi} \cdot \frac{\pi}{-\pi} }=e^{\frac{1}{\pi} } \)