jakby ktos mogl pomoc i wytlumaczyc dlaczego tak a nie inaczej bylabym bardzo wdzieczna
granica funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
granica funkcji
nie za bardzo wiem jak obliczyc granice \(\lim_{x\to\0^{+}} x^{x}\)
jakby ktos mogl pomoc i wytlumaczyc dlaczego tak a nie inaczej bylabym bardzo wdzieczna
jakby ktos mogl pomoc i wytlumaczyc dlaczego tak a nie inaczej bylabym bardzo wdzieczna
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
Ponieważ mamy dodatnie x, to możemy skorzystać z tego, że \(a=e^{\ln a}\) dla dodatnich a i z tego, że funkcje \(e^x\) jest ciągła. Mamy
\(\lim_{x\to 0^+}x^x=\lim_{x\to 0^+}e^{\ln x^x}=\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln x}=e^{\lim_{x\to 0^+}x\ln x}\)
Pozostaje zatem obliczyć \(\lim_{x\to 0^+}x\ln x\). Możemy to zrobić korzystając z reguły de l'Hospitala
\(\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=^{\frac{\infty}{\infty}} \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}-x=0.\)
Zatem wyjściowa granica wynosi \(e^0=1\)
escher
\(\lim_{x\to 0^+}x^x=\lim_{x\to 0^+}e^{\ln x^x}=\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln x}=e^{\lim_{x\to 0^+}x\ln x}\)
Pozostaje zatem obliczyć \(\lim_{x\to 0^+}x\ln x\). Możemy to zrobić korzystając z reguły de l'Hospitala
\(\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=^{\frac{\infty}{\infty}} \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}-x=0.\)
Zatem wyjściowa granica wynosi \(e^0=1\)
escher