Zbieżność szeregu

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: mela1015 »

Czy szereg
\( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)} (\frac{z}{\overline{z}})^n \) jest zbieżny?

wiem, ze \( \frac{1}{n(n+1)} \) jest malejący i dąży do zera ale jak postąpić z tym \((\frac{z}{\overline{z}})^n\) ?
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: Zbieżność szeregu

Post autor: grdv10 »

wiem, ze \(\dfrac{1}{n(n+1)}\) jest malejący i dąży do zera ale jak postąpić z tym \(\left(\dfrac{z}{\bar{z}}\right)^n\)?
Nie do rymu, nie do taktu. To nie jest szereg naprzemienny, więc kryterium Leibniza nie ma tu zastosowania.

Sumowanie od zera jest bez sensu. Mamy \(\left|\dfrac{z}{\bar{z}}\right|=\dfrac{|z|}{|\bar{z}|}=\dfrac{|z|}{|z|}=1\), więc \[\sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{1}{n(n+1)}\left(\dfrac{z}{\bar{z}}\right)^n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]i jest to szereg zbieżny. Badany szereg jest więc bezwzględnie zbieżny, zatem jest zbieżny dla każdego \(z\ne 0\). Dla \(z=0\) nie jest określony.
ODPOWIEDZ