Pochodna zespolona

[mela1015]

Jak wyznaczyć pochodną zespoloną funkcji f (o ile istnieje) w punkcie \(z_0=i\)?

Liczyłam pochodną z definicji korzystając ze wzoru \( \Lim_{h\to0 } \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} \) i za \(z_0\) podstawiłam \(i\) granica wyszła \(1\)

Ale jak liczyłam ogólnie granicę nie podstawiając wartości wyszła mi \(1-2x \) gdzie \(z_0=x+iy\)

Pytanie gdzie popełniłam błąd? Czy może trzeba to jakoś inaczej wyznaczyć?

[grdv10]

A gdzie ta funkcja?

[mela1015]

Funkcja:

\(f(x) = z+|z|^2\)

[grdv10]

No to dla \(z=x+yi\) mamy \(f(z)=x+yi+x^2+y^2=u(x,y)+iv(x,y),\) gdzie \(u(x,y)=x+x^2+y^2\) oraz \(v(x,y)=y\).

Według równań Cauchy'ego-Riemanna:

1. \(\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}\iff 1+2x=1\iff x=0.\)
2. \(\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}\iff 0=-2y\iff y=0.\)

Tak więc nasza funkcja jest różniczkowalna jedynie w punkcie \((0,0)\). Obliczymy pochodną:\[f'(0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{z\to 0}\dfrac{z+|z|^2}{z}=\lim_{z\to 0}\left(1+\dfrac{z\cdot \bar{z}}{z}\right)=\lim_{z\to 0}(1+\bar{z})=1.\]

[mela1015]

Tak więc nasza funkcja jest różniczkowalna jedynie w punkcie \((0,0)\). Obliczymy pochodną:\[f'(0)=\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}\]

Czy to jest jakiś wzór na granicę? Bo to jest wzór na pochodną z definicji tak? to dlaczego w mianowniku mamy \(z-0\)?

[grdv10]

\[f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\]