zadanie z funkcją odwrotną

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kiras
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 63
Rejestracja: 12 lis 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

zadanie z funkcją odwrotną

Post autor: Kiras »

Posługując się twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej proszę wyznaczyć przybliżone rozwiązanie równania :
\(\sqrt[3]{x^5 +7}+x\) = 2,83
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: zadanie z funkcją odwrotną

Post autor: panb »

Ale za to, to już użyj przycisku podziękowania, co?
Mamy rozwiązać równanie \(\sqrt[3]{x^5+7}+x=2,83 \). Znaczy, szukamy \(x_0\) takiego, że \(\sqrt[3]{x_0^5+7}+x_0=2,83 \)
Jeśli oznaczymy \(\sqrt[3]{x^5+7}+x=f(x)\), to równanie z zadania ma postać \(f(x_0)=2,83 \So x_0=f^{-1}(2,83)\)
Zauważmy, że \(f(1)=3 \So f^{-1}(3)=1\), a \(f^{-1}(2,83)=f^{-1}(3-0,17)\)
Korzystając z wzory Taylora, mamy
\[x_0=f^{-1}(2,83)=f^{-1}(3-0,17)\approx f^{-1}(3)-0,17 \cdot \left[ f^{-1}(3)\right]' \]
Z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, mamy
\(\left[ f^{-1}(3)\right]' =\left[ f^{-1}(f(1))\right]' = \frac{1}{f'(1)} \\
f'(x)=1+ \frac{5x^4}{3(x^5+7)^{ \frac{2}{3} }} \So f'(1)=1+ \frac{5}{3 \cdot 4}=\frac{17}{12} \So \frac{1}{f'(1)}=\frac{12}{17}\)

Zatem
\[x_0 \approx 1-0,17 \cdot \frac{12}{17}=1-0,12=0,88\]

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ODPOWIEDZ