dówód z ciągiem zbieżnym

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kiras
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 63
Rejestracja: 12 lis 2019, 20:56
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

dówód z ciągiem zbieżnym

Post autor: Kiras »

Proszę pokazać, że ciąg

Obrazek
jest ciągiem zbieżnym.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: dówód z ciągiem zbieżnym

Post autor: panb »

\(a_{n+1}-a_n= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}- \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \left( \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{n+1+n-1} + \frac{1}{n+1+n} + \frac{1}{n+1+n+1} \right)- \left( \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{n+n} \right) =\\
= \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1}= \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2}= \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}>0 \)

więc ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny.

\(a_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1}= \frac{n}{n+1}<1 \), więc ciąg jest ograniczony.

Ciąg \((a_n)\) jest monotoniczny i ograniczony, więc jest zbieżny.
ODPOWIEDZ