zadanie z granicą

[Kiras]

Policz granice , prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku
\(lim ((ln(sin𝑥) − ln𝑥)/𝑥^2)
= ? \)
𝑥→0+

[radagast]

\( \Lim_{x\to 0 } \frac{ \ln \sin x-\ln x }{x^2}=\Lim_{x\to 0 } \frac{ \ln \frac{\sin x}{x} }{x^2}=^H=\Lim_{x\to 0 } \frac{ \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} }{2x}=\Lim_{x\to 0 } \frac{x\cos x-\sin x }{2x^2\sin x}=^H=\\
\Lim_{x\to 0 } \frac{\cos x-x\sin x-\cos x }{4x\sin x+2x^2\cos x}=\Lim_{x\to 0 } \frac{-\sin x }{4\sin x+2x\cos x}=^H=\Lim_{x\to 0 } \frac{-\cos x }{4\cos x+2\cos x-2x\sin x}= \frac{-1}{4+2-0}= -{\frac{1}{6} } \)

[Kiras]

\( \Lim_{x\to 0 } \frac{ \ln \sin x-\ln x }{x^2}=\Lim_{x\to 0 } \frac{ \ln \frac{\sin x}{x} }{x^2}=^H=\Lim_{x\to 0 } \frac{ \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} }{2x}=\Lim_{x\to 0 } \frac{x\cos x-\sin x }{2x^2\sin x}=^H=\\
\Lim_{x\to 0 } \frac{\cos x-x\sin x-\cos x }{4x\sin x+2x^2\cos x}=\Lim_{x\to 0 } \frac{-\sin x }{4\sin x+2x\cos x}=^H=\Lim_{x\to 0 } \frac{-\cos x }{4\cos x+2\cos x-2x\sin x}= \frac{-1}{4+2-0}= -{\frac{1}{6} } \)

Mógłbyś mi napisać dlaczego można tam użyć reguły de Hospitala?

[panb]

Bo jest \(\frac{0}{0}\).

[Kiras]

Bo jest \(\frac{0}{0}\).

Ale właśnie w który momencie zapisu ? bo też chciałem własnie zrobić przez Hospitala ale myślalem ze nie mozna

[panb]

W tym (przypominam: \( \Lim_{x\to 0 } \frac{\sin x}{x}=1 ) \)
\( =\Lim_{x\to 0 } \frac{ \ln \frac{\sin x}{x} }{x^2} \)