analiza zespolona - całki

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

analiza zespolona - całki

Post autor: mela1015 »

Obliczyć \( \int_{C}^{} f(z) dz\), gdzie C=C(0,1)
\(f(z)= \frac{1}{z^2+2z+2} \)

Chciałam zapytać jak się w ogóle zabrać za rozwiązanie takiej całki
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: grdv10 »

Przez residua
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: mela1015 »

szw1710 pisze: 25 sty 2020, 15:28 Przez residua
to znaczy jak?
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: grdv10 »

Należy znaleźć bieguny tej funkcji. W tym celu rozkładasz ją na ułamki proste pierwszego rodzaju. Biegunami będą pierwiastki mianowników. Liczysz w nich residua i podstawiasz do wzoru na całkę przez residua. Wzór znajdziesz wszędzie. Nie wiem czy tam nie będzie sytuacji, że jeden biegun jest wewnątrz krzywej, a drugi na zewnątrz. Pod uwagę bierzemy jedynie bieguny wewnątrz krzywej. Tu możesz znaleźć materiał teoretyczny.

http://www.math.uni.wroc.pl/~glowacki/wrait2/6.pdf
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: mela1015 »

czyli pierwiastkami będzie \(z_1 = i-1\) lub \(z_2=-i-1\) czyli wewnątrz będzie leżał punkt \(z_1\)
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: mela1015 »

i później otrzymam \( \int_{C}^{} \frac{ \frac{1}{z+(1+i)} }{z+(1-i)} \)
czyli \(f(z) = \frac{1}{z+(1+i)} \) i nasza całka będzie równa \(2 \pi i( \frac{1}{2i}) = \pi \)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: grdv10 »

mela1015 pisze: 25 sty 2020, 16:06 czyli pierwiastkami będzie \(z_1 = i-1\) lub \(z_2=-i-1\) czyli wewnątrz będzie leżał punkt \(z_1\)
Zależy co rozumiesz przez \(C(0,1).\)
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: mela1015 »

koło o środku 0 i promieniu 1 ale w takim razie żadne z tych punktów nie będzie należało do wewnątrz
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: grdv10 »

Raczej okrąg. No właśnie. Więc funkcja jest w kole holomorficzna... Pokombinuj ze wzorem całkowym Cauch'ego dla dobrze dobranej funkcji. Już coś tam masz napisane wcześniej.
mela1015
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 488
Rejestracja: 20 kwie 2013, 11:00
Podziękowania: 229 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: mela1015 »

Ok, ale jeśli te punkty nie należą do wnętrza tego okręgu to co mam dalej zrobić, bo nie bardzo rozumiem
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: analiza zespolona - całki

Post autor: grdv10 »

Skoro nasza funkcja jest holomorficzna w całym kole jednostkowym, a nawet w kole troszkę większym, to wymyśl twierdzenia podstawowego Cauchy’ego całka po okręgu jednostkowym jest równa zero.
ODPOWIEDZ