Pokazać, że zachodzi następująca nierówność.
\((x+ \frac{1}{x})\arctg x > 1 \) , dla \(x>0\)
Nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
MiedzianyDawid
- Czasem tu bywam
- Posty: 136
- Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
- Podziękowania: 112 razy
- Płeć:
Nierówność
Ostatnio zmieniony 20 sty 2020, 22:42 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa LaTeX-a
Powód: Poprawa LaTeX-a
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Nierówność
Niech \(f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\arctg x.\)
Zauważ, że nasza funkcja jest parzysta: \(f(-x)=f(x)\) Wystarczy więc ograniczyć się do \(x>0.\)
Do funkcji arcus tangens zastosujmy twierdzenie Lagrange'a dla punktów \(0\) i \(x.\) Wnosimy z niego, że \(\dfrac{\arctg x}{x}=\dfrac{1}{1+c^2}\) dla pewnego \(c\in (0,x).\) Ponieważ \(1+c^2<1+x^2,\) to\[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\arctg x=(x^2+1)\dfrac{\arctg x}{x}>\dfrac{1+x^2}{1+c^2}>1.\]
Zauważ, że nasza funkcja jest parzysta: \(f(-x)=f(x)\) Wystarczy więc ograniczyć się do \(x>0.\)
Do funkcji arcus tangens zastosujmy twierdzenie Lagrange'a dla punktów \(0\) i \(x.\) Wnosimy z niego, że \(\dfrac{\arctg x}{x}=\dfrac{1}{1+c^2}\) dla pewnego \(c\in (0,x).\) Ponieważ \(1+c^2<1+x^2,\) to\[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\arctg x=(x^2+1)\dfrac{\arctg x}{x}>\dfrac{1+x^2}{1+c^2}>1.\]