Równania różniczkowe

[Sepression]

Znajdź rozwiązanie równania
a) \[dy/dx + ycosx = e^a a=-sinx\]
b) \[dy/dx*(xtgy - 1/cosy) + 1 = 0\]
c) \[y' - ycosx = 1/2 sin2x\]
d) \[y' = y(y^2 + 2x^2)/2x(x^2+y^2)\]
Będę bardzo wdzięczna za rozwiązanie chociaż 1 podpunktu.

[korki_fizyka]

https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=161&t=261648

[panb]

Musisz stosować zapis LaTeX, bo w przeciwnym wypadku twoje zapisy nie są jednoznaczne.
Np.\( \frac{1}{2\sin2x} \) czy \( \frac{1}{2}\sin2x \) - to istotne!

Chciałaś jedno - masz jedno.
\(y'-y\cos x=\frac{1}{2}\sin2x\\
y'-y\cos x=0 \So \frac{y'}{y} =\cos x \\ \int \frac{dy}{y} =\int \cos x dx \\ y=Ce^{\sin x}\)
i mamy rozwiązanie równania jednorodnego.
Zastosuje metodę uzmienniania stałej: \(y=C(x)e^{\sin x} \So y'=C'e^{\sin x}+C\cos xe^{\sin x}\)
Wstawiając to do naszego równania, otrzymujemy
\(C'e^{\sin x}+C\cos xe^{\sin x}-C\cos x e^{\sin x}= \frac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x \\
C'e^{\sin x}=\sin x\cos x\\
C'= \frac{\sin x \cos x}{e^{\sin x}} \So C=\int \frac{\sin x \cos dx}{e^{\sin x}} = \begin{vmatrix}\text{metoda podstawiania}\\ \sin x=t \So \cos x dx=dt \end{vmatrix} =\\
=\int \frac{t dt}{e^t} =\int te^{-t}dt= \begin{vmatrix} u=t & du=dt\\dv=e^{-t}dt & v=-e^{-t}\end{vmatrix}=-te^{-t}-\int e^{-t}dt\\
C= -e^{-t}(t+1)+A=-e^{-\sin x}(\sin x+1)+A\)

Zatem \(y=Ce^{\sin x}= \left[-e^{-t}(t+1)+A=-e^{-\sin x}(\sin x+1)+A \right]e^{\sin x} \\
y=-(\sin x+1)+Ae^{\sin x}\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania \(y'-y\cos x= \frac{1}{2}\sin2x \) jest funkcja \[ y=Ce^{\sin x}-\sin x-1\]

[Sepression]

Musisz stosować zapis LaTeX, bo w przeciwnym wypadku twoje zapisy nie są jednoznaczne.
Np.\( \frac{1}{2\sin2x} \) czy \( \frac{1}{2}\sin2x \) - to istotne!

Chciałaś jedno - masz jedno.
\(y'-y\cos x=\frac{1}{2}\sin2x\\
y'-y\cos x=0 \So \frac{y'}{y} =\cos x \\ \int \frac{dy}{y} =\int \cos x dx \\ y=Ce^{\sin x}\)
i mamy rozwiązanie równania jednorodnego.
Zastosuje metodę uzmienniania stałej: \(y=C(x)e^{\sin x} \So y'=C'e^{\sin x}+C\cos xe^{\sin x}\)
Wstawiając to do naszego równania, otrzymujemy
\(C'e^{\sin x}+C\cos xe^{\sin x}-C\cos x e^{\sin x}= \frac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x \\
C'e^{\sin x}=\sin x\cos x\\
C'= \frac{\sin x \cos x}{e^{\sin x}} \So C=\int \frac{\sin x \cos dx}{e^{\sin x}} = \begin{vmatrix}\text{metoda podstawiania}\\ \sin x=t \So \cos x dx=dt \end{vmatrix} =\\
=\int \frac{t dt}{e^t} =\int te^{-t}dt= \begin{vmatrix} u=t & du=dt\\dv=e^{-t}dt & v=-e^{-t}\end{vmatrix}=-te^{-t}-\int e^{-t}dt\\
C= -e^{-t}(t+1)+A=-e^{-\sin x}(\sin x+1)+A\)

Zatem \(y=Ce^{\sin x}= \left[-e^{-t}(t+1)+A=-e^{-\sin x}(\sin x+1)+A \right]e^{\sin x} \\
y=-(\sin x+1)+Ae^{\sin x}\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania \(y'-y\cos x= \frac{1}{2}\sin2x \) jest funkcja \[ y=Ce^{\sin x}-\sin x-1\]

Bardzo Panu dziękuję, super wytłumaczone. Wydaje mi się, że już rozumiem pozostałe podpunkty oprócz b), czy mógłabym prosić o pomoc jeszcze z nim?

[kerajs]

b)
\(y' \frac{x\sin y-1}{\cos y}=-1\\
\frac{x\sin y-1}{\cos y}=-x' \\
x'+ x\tg y = \frac{1}{\cos y} \)
a to jest takie samo równanie liniowe jak przykład c) i a)

Natomiast w d) należy zrobić podstawienie \(t= \frac{y}{x}\) , co da równanie typu zmienne rozdzielone.