Twierdzenie Rolle'a

[sopczi2001]

Sprawdź czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle'a i wyznacz odpowiednie punkty.
\(f(x)=\ln\sin x\) dla \(x \in \left\langle \dfrac{\pi}{6};\ \dfrac{5\pi}{6}\right\rangle\)

[eresh]

1. funkcja jest ciągła w podanym przedziale, bo jest to złożenie funkcji ciągłych
2. funkcja jest różniczkowalna w \((\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})\)
\(f'(x)=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\ctg x\)
3.
\(f(\frac{\pi}{6})=\ln\frac{1}{2}\\
f(\frac{5\pi}{6})=\ln\frac{1}{2}\)
założenia twierdzenia Rolle'a są spełnione
istnieje więc takie c, że \(f'(c)=0\)
\(c=\frac{\pi}{2}\)

[sopczi2001]

a jak sprawdzić czy jest różniczkowalna?

[eresh]

policzyłam pochodną - istnieje w całym podanym przedziale

[sopczi2001]

mogłabyś pokazać jak ją liczyłaś?

[eresh]

no to jeszcze raz:
\((\ln\sin x)=\frac{1}{\sin x}\cdot (\sin x)'=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x\)

[sopczi2001]

chodziło mi o sprawdzenie czy istnieje w podanym przedziale, a nie o samą pochodną

[eresh]

skoro ją wyznaczyłam, jej dziedzina jest zawarta w podanym przedziale to istnieje, prawda?