Pochodne, wzór trapezu

[Janek9003]

Mam do rozwiązania pewien problem optymalizacyjny, ale wszystkie problemy leżą w warstwie analitycznej.
Istnieje trapez równoramienny o krótszej podstawie i ramionach o długości 10, i dłuższej podstawie x.

Jego polem będzie \( \frac{((x+10) \sqrt{100-(\frac{10-x}{2})^2} }{2} \).
1.I tutaj potrzebuję pierwszej i drugiej pochodnej. O ile da się to wszystko wrzucić pod jeden pierwiastek i policzyć tą pochodną, to obliczenie drugiej wydaje się być bardzo karkołomnym zadaniem. Czy ktoś byłby w stanie jakoś ładnie to rozpisać i opisać zastosowane metody?

2. Druga sprawa, można zastosować inny wzór żeby w zasadzie strywializować zadanie, ale problem jest taki, że nie znam takiego wzoru. Podobno można użyć sinusa/cosinusa i jednocześnie nie dodać nowej zmiennej kąta (dalej będzie to funkcja \(f(x)\)). Czy ktoś ma pomysł jak to zrobić?

[patryk00714]

Możesz przytoczyć wyprowadzenie wzoru na to pole?

[Janek9003]

Możesz przytoczyć wyprowadzenie wzoru na to pole?

Pole trapezu to \( \frac{(a+b)*h}{2} \). Dłuższa podstawa to \(x\), górna to \(10\). \(a+b = x+10\).
\(h\) wyprowadzamy z pitagorasa. \( (\frac{x-10}{2})^2 + h^2 = 100\). Wyliczamy \(h\) i wstawiamy do wzoru.

W temacie mam błąd, pisałem bez patrzenia na polecenie. \(x\) i \(10\) zamienione miejscami.

[Galen]

Wzór na pole trapezu:
\(P(x)= \frac{1}{2}(x+10)\cdot\sqrt{\frac{400-(x-10)^2}{4}}\\P(x)= \frac{1}{4}(x+10) \sqrt{300+20x-x^2}\)
\(P'(x)= \frac{1}{4} [\sqrt{300+20x-x^2}+(x+10)\cdot \frac{20-2x}{2 \sqrt{300+20x-x^2} }]\)

\(P'(x)=0\)
\(\sqrt{300+20x-x^2}+\frac{(10+x)(10-x)}{\sqrt{300+20x-x^2}}=0\;/\cdot\sqrt{}\)
\((300+20x-x^2)+(100-x^2)=0\;\;\;\;\;\;\;\)
Trzeba zastosować wzór na pochodną funkcji złożonej...\((\sqrt{f(x)})'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\)

Możesz przyjąć inną zmienną...
\(a=x+10+x\\b=10\\h=\sqrt{10^2-x^2}\\P=....\)
Otrzymasz x=5.
Wtedy a=20
b=10
h=pierwiastek z 75

[Jerry]

Podobno można użyć sinusa/cosinusa i jednocześnie nie dodać nowej zmiennej kąta (dalej będzie to funkcja \(f(x)\)). Czy ktoś ma pomysł jak to zrobić?

Czy chodzi Ci o:
Niech \(x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) będzie kątem ostrym trapezu.
Wtedy \(h=10\sin x\wedge a=10+2\cdot 10 \cos x\) oraz
\(f(x)=10(\cos x+1)\sin x\)

Pozdrawiam

[Janek9003]

Jeśli chodzi o te pochodne do dalej jestem w tym samym miejscu, bo wzory znam, tylko jest to niesamowicie trudna funkcja, i po policzeniu pierwszej pochodnej wychodzi mi funkcja długa na 1,5 linijki, i nie za bardzo uśmiecha mi się liczenie drugiej. Wydaje mi się że po prostu muszę próbować do oporu. Aczkolwiek wprowadzenie innej zmiennej powinno ułatwić życie.

Co do tego drugiego wzoru - nie do końca rozumiem skąd się wziął, i po podstawieniu 10 wynik to 3,4, a ze wzoru zwykłego 55.

[Janek9003]

Podobno można użyć sinusa/cosinusa i jednocześnie nie dodać nowej zmiennej kąta (dalej będzie to funkcja \(f(x)\)). Czy ktoś ma pomysł jak to zrobić?

Czy chodzi Ci o:
Niech \(x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) będzie kątem ostrym trapezu.
Wtedy \(h=10\sin x\wedge a=10+2\cdot 10 \cos x\) oraz
\(f(x)=10(\cos x+1)\sin x\)

Pozdrawiam

Udało mi się zrozumieć \(h\) oraz \(a\), aczkolwiek po podstawieniu do wzoru wychodzi \(100\sin{x}+100\sin{x}\cos{x}\).

[Jerry]

Masz rację... trafił mi się bad-click i nie zauważyłem...

Pozdrawiam

[Janek9003]

Sam pomysł w każdym razie działa, więc dzięki za pomoc.
Co prawda dalej nie policzyłem pochodnej z tego pierwszego wzoru, ale to raczej zadanie zaprojektowane z myślą o użyciu innej zmiennej niż \(x=a\).