Oblicz całkę zespoloną
\( \int_{1}^{2i} ze^{ \pi z^2}dz\)
Oblicz całkę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Oblicz całkę
Niech \(z=x+yi\). Po zastosowaniu wzoru Eulera otrzymujemy \(ze^{\pi z^2}=P+iQ\). Mamy też \(dz=dx+idy.\) Tak więc \((P+iQ)(dx+idy)=(Pdx-Qdy)+i(Qdx+Pdy).\)
Nasza całka ma postać \[\int_{(1,0)}^{(0,2)}(Pdx-Qdy) + i \int_{(1,0)}^{(0,2)}(Qdx+Pdy)\]
Funkcja podcałkowa jest holomorficzna, więc z równań Cauchy'ego-Riemanna wynika, że obie powyższe całki krzywoloniowe nie zależą od drogi całkowania i można więc policzyć je po odcinku albo zastosować metodę potencjałową.
Po przejściu na całki oznaczone masz już proste całkowanie przez podstawienie i przez części.
Nasza całka ma postać \[\int_{(1,0)}^{(0,2)}(Pdx-Qdy) + i \int_{(1,0)}^{(0,2)}(Qdx+Pdy)\]
Funkcja podcałkowa jest holomorficzna, więc z równań Cauchy'ego-Riemanna wynika, że obie powyższe całki krzywoloniowe nie zależą od drogi całkowania i można więc policzyć je po odcinku albo zastosować metodę potencjałową.
Po przejściu na całki oznaczone masz już proste całkowanie przez podstawienie i przez części.
-
Robakks
- Czasem tu bywam
- Posty: 149
- Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 13 razy
- Płeć:
Re: Oblicz całkę
\(
ze^{\pi z^2}=P+iQ\\
\left(x+yi \right)e^{ \left(x+yi \right)^2 }\\
\left(x+yi \right)e^{\pi \left(x^2-y^2+2xyi \right) }\\
\left(x+yi \right)e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left( \cos{ \left( 2\pi xy\right) }+i\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \\
e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)}\left(x+yi \right)\left( \cos{ \left( 2\pi xy\right) }+i\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \\
e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left( \left( x\cos{ \left( 2\pi xy\right) }-y\sin{ \left( 2\pi xy\right) }\right) +i \left(x\sin{ \left( 2\pi xy\right) }+y\cos{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \right) \\
e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\cos{ \left( 2\pi xy\right) }-y\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right) +ie^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\sin{ \left( 2\pi xy\right) }+y\cos{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \\
P \left(x,y \right) =e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\cos{ \left( 2\pi xy\right) }-y\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right)\\
Q \left(x,y \right)=e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\sin{ \left( 2\pi xy\right) }+y\cos{ \left( 2\pi xy\right) } \right)\\
\)
\( \left(x_{0},y_{0} \right)= \left(1,0 \right)\\
\left(x_{1},y_{1} \right)= \left(0,2 \right)\\
y-0=\frac{2-0}{0-1} \left(x-1 \right) \\
y=-2 \left(x-1 \right)\\
\begin{cases} x \left(t \right) =1-t\\y \left(t \right) =-2 \left(1-t-1 \right) \end{cases} \\
\begin{cases} x\left(t \right)=1-t\\y\left(t \right)=2t \end{cases} \\
\)
\( -\int_{0}^{1}{e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left(1-t \right) \cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+2t\sin{ \left( 4\pi \left( t^2-t\right)\right) } \right)+2e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)}\left( \left(t-1 \right) \sin{ \left( 4\pi \left( t^2-t\right) \right) }+2t\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }\right)\mbox{d}t}\\
+i \int_{0}^{1}{2e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left(1-t \right) \cos{ \left(4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+2t\sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right)\right) } \right)-e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left(t-1 \right) \sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+2t\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) } \right)\mbox{d}t} \\
\)
\(
- \int_{0}^{1}{e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left( 1+3t\right)\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+ \left(4t-2 \right)\sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) } \right) \mbox{d}t} \\
+i\int_{0}^{1}{e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left( 1+3t\right)\sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }- \left(4t-2 \right)\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) } \right) \mbox{d}t}
\)
Może ta metoda potencjałowa będzie wymagała mniej obliczeń
Szymonie W liczyłeś te całki ?
Nie będzie trzeba czasem korzystać z jakichś funkcji nieelementarnych ?
ze^{\pi z^2}=P+iQ\\
\left(x+yi \right)e^{ \left(x+yi \right)^2 }\\
\left(x+yi \right)e^{\pi \left(x^2-y^2+2xyi \right) }\\
\left(x+yi \right)e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left( \cos{ \left( 2\pi xy\right) }+i\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \\
e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)}\left(x+yi \right)\left( \cos{ \left( 2\pi xy\right) }+i\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \\
e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left( \left( x\cos{ \left( 2\pi xy\right) }-y\sin{ \left( 2\pi xy\right) }\right) +i \left(x\sin{ \left( 2\pi xy\right) }+y\cos{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \right) \\
e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\cos{ \left( 2\pi xy\right) }-y\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right) +ie^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\sin{ \left( 2\pi xy\right) }+y\cos{ \left( 2\pi xy\right) } \right) \\
P \left(x,y \right) =e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\cos{ \left( 2\pi xy\right) }-y\sin{ \left( 2\pi xy\right) } \right)\\
Q \left(x,y \right)=e^{\pi \left(x^2-y^2 \right)} \left(x\sin{ \left( 2\pi xy\right) }+y\cos{ \left( 2\pi xy\right) } \right)\\
\)
\( \left(x_{0},y_{0} \right)= \left(1,0 \right)\\
\left(x_{1},y_{1} \right)= \left(0,2 \right)\\
y-0=\frac{2-0}{0-1} \left(x-1 \right) \\
y=-2 \left(x-1 \right)\\
\begin{cases} x \left(t \right) =1-t\\y \left(t \right) =-2 \left(1-t-1 \right) \end{cases} \\
\begin{cases} x\left(t \right)=1-t\\y\left(t \right)=2t \end{cases} \\
\)
\( -\int_{0}^{1}{e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left(1-t \right) \cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+2t\sin{ \left( 4\pi \left( t^2-t\right)\right) } \right)+2e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)}\left( \left(t-1 \right) \sin{ \left( 4\pi \left( t^2-t\right) \right) }+2t\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }\right)\mbox{d}t}\\
+i \int_{0}^{1}{2e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left(1-t \right) \cos{ \left(4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+2t\sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right)\right) } \right)-e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left(t-1 \right) \sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+2t\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) } \right)\mbox{d}t} \\
\)
\(
- \int_{0}^{1}{e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left( 1+3t\right)\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }+ \left(4t-2 \right)\sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) } \right) \mbox{d}t} \\
+i\int_{0}^{1}{e^{-\pi \left(3t^2+2t-1 \right)} \left( \left( 1+3t\right)\sin{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) }- \left(4t-2 \right)\cos{ \left( 4\pi \left(t^2-t \right) \right) } \right) \mbox{d}t}
\)
Może ta metoda potencjałowa będzie wymagała mniej obliczeń
Szymonie W liczyłeś te całki ?
Nie będzie trzeba czasem korzystać z jakichś funkcji nieelementarnych ?