Całka

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
malwinka1058
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 01 paź 2014, 17:00
Płeć:

Całka

Post autor: malwinka1058 »

\( \int \frac{3x^{2}y^{2}+4xy^{3}-x^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}dy \)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Całka

Post autor: kerajs »

\( \int \frac{3x^{2}y^{2}+4xy^{3}-x^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}dy =\int \frac{3x^{4}( \frac{y}{x} )^{2}+4x^4( \frac{y}{x} )^{3}-x^{4}}{x^6(1+( \frac{y}{x} )^{2})^{3}}dy= \left[t= \frac{y}{x} \right]= \frac{1}{x} \int \frac{3t^2+4t-1}{(1+t^2)^3} dt=\\=\frac{1}{x} \left( \int \frac{4tdt}{(1+t^2)^3} +\int \frac{4t^2dt}{(1+t^2)^3} -\int \frac{dt}{(1+t^2)^2} \right) =... \)
Pierwsza całka :
\(\int \frac{4tdt}{(1+t^2)^3} = \left[ k=1+t^2\right]= \int \frac{2dk}{k^3}= \frac{-1}{k^2}= \frac{-1}{(1+t^2)^2}= \frac{-1}{(1+( \frac{y}{x} )^2)^2} \)
Drugą całkę liczy się przez części :
\(\int t \cdot \frac{4t}{(1+t^2)^3}dt=t \cdot \frac{-1}{(1+t^2)^2}- \int \frac{-dt}{(1+t^2)^2} =\frac{- \frac{y}{x} }{(1+( \frac{y}{x} )^2)^2}+\int \frac{dt}{(1+t^2)^2}\)
Z powyższymi wynikami wracam do zadania:
\(...=\frac{1}{x} \left( \frac{-1}{(1+( \frac{y}{x} )^2)^2} -\frac{\frac{y}{x} }{(1+( \frac{y}{x} )^2)^2}+\int \frac{dt}{(1+t^2)^2}-\int \frac{dt}{(1+t^2)^2} \right)=\frac{1}{x} \left( \frac{-1}{(1+( \frac{y}{x} )^2)^2} -\frac{\frac{y}{x} }{(1+( \frac{y}{x} )^2)^2} \right)+C\)
ODPOWIEDZ